Encontre e classifique todos os pontos críticos da função f(x, y) = x*y - 1/3*x^3 - 1/2*y^2 + 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos da função . Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, mais especificamente em derivadas parciais e análise de pontos críticos. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero e, depois, classificar esses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é obtida tratando como uma constante:
A derivada parcial em relação a é obtida tratando como uma constante:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação:
Portanto, as soluções são ou . Correspondendo a , temos os pontos críticos:

Passo 4

Agora que encontramos os pontos críticos, vamos classificá-los usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para :
Como e , o ponto é um ponto de máximo local.

Resposta

A função tem dois pontos críticos:
  • : ponto de sela.
  • : ponto de máximo local.

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