Encontre e classifique todos os pontos críticos da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos da função
. Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, mais especificamente em derivadas parciais e análise de pontos críticos. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero e, depois, classificar esses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é obtida tratando
como uma constante:
A derivada parcial em relação a
é obtida tratando
como uma constante:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, temos
. Substituindo na primeira equação:
Portanto, as soluções são
ou
. Correspondendo a
, temos os pontos críticos:
Passo 4
Agora que encontramos os pontos críticos, vamos classificá-los usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
, o ponto
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
tem dois pontos críticos:
-
: ponto de sela. -
: ponto de máximo local.
Exercícios relacionados
Mostre que
, onde
é a função do item (a), é contínua em
.
Considere a função
e o ponto
.
Utilizando a aproximação linear local de em
, determine o valor aproximado de
.
Utilizando a aproximação linear local de
Se uma função contínua de uma variável tem exatamente um extremo relativo em um intervalo, então esse extremo relativo é um extremo absoluto no intervalo. Este exercício mostra que esse resultado não se estende a funções de duas variáveis.
Use um recurso computacional para esboçar o gráfico .
Use um recurso computacional para esboçar o gráfico
Defina precisamente a expressão matemáticas abaixo, falando do domínio de
e do ponto
caso necessário: