Considere a função produção de Cobb-Douglas P(x, y)=1,01 x^alpha y^beta onde alpha, beta>0 e responda os itens abaixo:
(a) Calcule partial Ppartial x e partial Ppartial y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de produção chamada Cobb-Douglas, que é uma forma matemática usada pra modelar a produção em termos de dois insumos, nesse caso, P(x, y) = 1,01 , x^alpha y^beta e . A função dada é:
Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos precisar usar a regra da potência na diferenciação.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial Ppartial x = 1,01 times alpha times x^alpha - 1 times y^beta em relação a . Quando diferenciamos em relação a , tratamos como uma constante. A regra da potência nos diz que, para uma função do tipo , a derivada é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Ppartial y = 1,01 times beta times x^alpha times y^beta - 1 em relação a . Aqui, tratamos como uma constante e aplicamos a mesma regra da potência:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial Ppartial x = 1,01 , alpha , x^alpha - 1 y^beta
e
partial Ppartial y = 1,01 , beta , x^alpha y^beta - 1

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