Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente envolve integrais que têm uma expressão dentro de uma raiz quadrada. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou hiperbólica que simplifique a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da integral. Temos
no denominador. Observamos que a expressão
se assemelha a uma diferença de quadrados, o que sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica do tipo
, já que
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, mas para simplificar, vamos definir
. Então:
Precisamos também encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Como
é positivo no intervalo considerado, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, precisamos retornar à variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.