Resolva as integrais abaixo: integral 1raiz4 x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente envolve integrais que têm uma expressão dentro de uma raiz quadrada. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou hiperbólica que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da integral. Temos no denominador. Observamos que a expressão se assemelha a uma diferença de quadrados, o que sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica do tipo , já que .

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = 12sectheta , mas para simplificar, vamos definir dx = 12secthetatantheta , dtheta . Então:
Precisamos também encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo integral 1raiz4(12sectheta)^2 - 1 cdot 12secthetatantheta , dtheta e 4(12sectheta)^2 - 1 = 4(14sec^2theta) - 1 = sec^2theta - 1 = tan^2theta na integral original:
integral 1raiztan^2theta cdot 12secthetatantheta , dtheta = integral 1|tantheta| cdot 12secthetatantheta , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
integral 1tantheta cdot 12secthetatantheta , dtheta = integral 12sectheta , dtheta
Portanto, a integral fica:
Como é positivo no intervalo considerado, podemos simplificar para:

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral sectheta , dtheta = 12 ln|sectheta + tantheta| + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, precisamos retornar à variável original sectheta = 2x e tantheta = raiz4x^2 - 1 . Lembrando que fizemos a substituição 12 ln|2x + raiz4x^2 - 1| + C , então:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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