Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto
.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
no ponto
. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a cada variável, primeiro olhando para as mudanças individuais (derivadas de primeira ordem) e depois para como essas mudanças se alteram (derivadas de segunda ordem). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. As derivadas parciais mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
, que a gente denota como
.
Passo 3
Calculando
:
A função é
.
Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. Então:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (porque é constante). - A derivada de
em relação a é .
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que é
.
Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então,
.
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular o valor delas no ponto
.
Primeiro, para
:
Substituindo
e
:
Agora, para
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso nos mostra como as derivadas de primeira ordem mudam em relação a cada variável.
Vamos precisar calcular:
-
: derivada de em relação a . -
: derivada de em relação a . -
ou : derivada mista.
Passo 7
Calculando
:
Temos
.
Derivando novamente em relação a
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (porque é constante).
Então,
.
Passo 8
Calculando
:
Temos
.
Derivando novamente em relação a
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
.
Passo 9
Calculando a derivada mista
:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então,
.
Passo 10
Agora, vamos calcular os valores das derivadas de segunda ordem no ponto
.
Primeiro,
(isso não depende de
ou
, então o valor no ponto é 10).
Segundo,
.
Substituindo
e
:
Terceiro,
.
Substituindo
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
no ponto
são: