Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto 1,4.
e) f(x, y) = 5x^2 - 6xy^3 + 2y + 123

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) = 5x^2 - 6xy^3 + 2y + 123 no ponto 1,4. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a cada variável, primeiro olhando para as mudanças individuais (derivadas de primeira ordem) e depois para como essas mudanças se alteram (derivadas de segunda ordem). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. As derivadas parciais mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Vamos começar com a derivada parcial em relação a x, que a gente denota como .

Passo 3

Calculando :
A função é .
Ao derivar em relação a x, tratamos y como uma constante. Então:
  • A derivada de em relação a x é .
  • A derivada de em relação a x é .
  • A derivada de em relação a x é 0 (porque y é constante).
  • A derivada de em relação a x é 0.
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y, que é .
Ao derivar em relação a y, tratamos x como uma constante:
  • A derivada de em relação a y é 0.
  • A derivada de em relação a y é .
  • A derivada de em relação a y é .
  • A derivada de em relação a y é 0.
Então, .

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular o valor delas no ponto 1,4.
Primeiro, para :
Substituindo x = 1 e y = 4:
Agora, para :
Substituindo x = 1 e y = 4:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso nos mostra como as derivadas de primeira ordem mudam em relação a cada variável.
Vamos precisar calcular:
  1. : derivada de em relação a x.
  2. : derivada de em relação a y.
  3. ou : derivada mista.

Passo 7

Calculando :
Temos .
Derivando novamente em relação a x:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é 0 (porque y é constante).
Então, .

Passo 8

Calculando :
Temos .
Derivando novamente em relação a y:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é 0.
Então, .

Passo 9

Calculando a derivada mista :
Primeiro, derivamos em relação a y:
  • A derivada de em relação a y é 0.
  • A derivada de em relação a y é .
Então, .

Passo 10

Agora, vamos calcular os valores das derivadas de segunda ordem no ponto 1,4.
Primeiro, (isso não depende de x ou y, então o valor no ponto é 10).
Segundo, .
Substituindo x = 1 e y = 4:
Terceiro, .
Substituindo y = 4:

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) = 5x^2 - 6xy^3 + 2y + 123 no ponto 1,4 são:

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