Considere a função de produção F(x1, x2) = A (a0 + a1 x1^p + a2 x2^p)^(1/p). Mostre que F tem retornos constantes de escala quando a0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função de produção tem retornos constantes de escala quando . Isso está relacionado ao estudo de como a produção reage quando aumentamos todos os insumos proporcionalmente. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de retornos de escala e aplicar algumas propriedades de funções matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter retornos constantes de escala. Basicamente, se você multiplicar todos os insumos por um fator , a produção também será multiplicada por . Ou seja, . Isso indica que a produção responde de forma proporcional ao aumento dos insumos.

Passo 3

Agora, como o exercício nos dá , vamos simplificar a função de produção substituindo esse valor:

Passo 4

Vamos agora calcular substituindo e por e :

Passo 5

Simplificando os termos dentro da função:
Então, a função fica:

Passo 6

Fatorando dentro da soma:

Passo 7

Agora, aplicando a propriedade de potências :
Simplificando :

Passo 8

Observamos que é exatamente . Então podemos escrever:

Resposta

Portanto, mostramos que , o que confirma que a função de produção tem retornos constantes de escala quando .

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