Considere a função de produção
. Mostre que
tem retornos constantes de escala quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função de produção
tem retornos constantes de escala quando
. Isso está relacionado ao estudo de como a produção reage quando aumentamos todos os insumos proporcionalmente. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de retornos de escala e aplicar algumas propriedades de funções matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter retornos constantes de escala. Basicamente, se você multiplicar todos os insumos por um fator
, a produção também será multiplicada por
. Ou seja,
. Isso indica que a produção responde de forma proporcional ao aumento dos insumos.
Passo 3
Agora, como o exercício nos dá
, vamos simplificar a função de produção substituindo esse valor:
Passo 4
Vamos agora calcular
substituindo
e
por
e
:
Passo 5
Simplificando os termos dentro da função:
Então, a função fica:
Passo 6
Fatorando
dentro da soma:
Passo 7
Agora, aplicando a propriedade de potências
:
Simplificando
:
Passo 8
Observamos que
é exatamente
. Então podemos escrever:
Resposta
Portanto, mostramos que
, o que confirma que a função de produção
tem retornos constantes de escala quando
.
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(d)
(d)
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quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados
ao longo do eixo
;
ao longo da reta
.
Sob qual condição haveria retornos constantes de escala? E retornos crescentes de escala?