Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(d)
(d)
Passo 1
Entendendo o problema: Precisamos inverter a ordem de integração de uma integral dupla e, em seguida, calcular seu valor. A integral dada é:
Matéria envolvida: Vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, precisaremos entender a região de integração e como reescrever os limites de integração após a inversão.
Passo 2
Desenhando a região de integração: A integral original integra
de
até 2 e
de 0 até 8. Vamos entender isso graficamente:
-
varia de 0 a 8. - Para cada
, varia de até 2.
Isso significa que a região de integração está abaixo da curva
e acima de
, até
.
Passo 3
Invertendo a ordem de integração: Agora, queremos integrar
primeiro e depois
. Para isso, precisamos determinar os novos limites:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, varia de 0 até (pois implica ).
Assim, a integral invertida fica:
Passo 4
Calculando a integral interna: A integral interna é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a integral fica:
Passo 5
Calculando a integral resultante: Agora, precisamos integrar em relação a
:
Aplicando substituição: Vamos fazer
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Substituindo de volta
:
Passo 6
Avaliando os limites: Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
Sabemos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
ou
. Uma função
é dita homogênea de grau
, se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
Resolva a equação diferencial homogênea :
Para quais valores de
o gráfico da superfície de nível
é não vazio?
Considere a função de produção
. Mostre que
tem retornos constantes de escala quando
.