Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(d) integral0^8 integralraiz[3]x^2 d y d xy^4+1 d y d x

Passo 1

Entendendo o problema: Precisamos inverter a ordem de integração de uma integral dupla e, em seguida, calcular seu valor. A integral dada é:
integral0^8 integralraiz[3]x^2 1y^4+1 , dy , dx
Matéria envolvida: Vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, precisaremos entender a região de integração e como reescrever os limites de integração após a inversão.

Passo 2

Desenhando a região de integração: A integral original integra de até 2 e de 0 até 8. Vamos entender isso graficamente:
  • varia de 0 a 8.
  • Para cada , varia de até 2.
Isso significa que a região de integração está abaixo da curva e acima de , até .

Passo 3

Invertendo a ordem de integração: Agora, queremos integrar integral0^2 integral0^y^3 1y^4+1 , dx , dy primeiro e depois . Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até (pois implica ).
Assim, a integral invertida fica:

Passo 4

Calculando a integral interna: A integral interna é em relação a integral0^y^3 1y^4+1 , dx :
1y^4+1 integral0^y^3 dx = 1y^4+1 cdot y^3 = y^3y^4+1
Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Calculando a integral resultante: Agora, precisamos integrar em relação a integral0^2 y^3y^4+1 , dy :
integral y^3y^4+1 , dy = 14 integral 1u , du = 14 ln|u| + C
Aplicando substituição: Vamos fazer 14 ln(y^4 + 1) + C , então ou .
Substituindo na integral:
Substituindo de volta :

Passo 6

Avaliando os limites: Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
14 ln(2^4 + 1) - 14 ln(0^4 + 1) = 14 ln(17) - 14 ln(1)
Sabemos que 14 ln(17) , então:

Resposta

14 ln(17)

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