Para quais valores de
o gráfico da superfície de nível
é não vazio?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis,
, e queremos descobrir para quais valores de
a superfície de nível
existe, ou seja, não é vazia. Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como determinar os valores de
que tornam essa equação possível. Para resolver isso, vamos precisar saber qual é a função
específica que estamos analisando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como
, é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
para um valor fixo de
. É como se estivéssemos “cortando” a função em diferentes alturas
para ver onde essa “corte” existe.
Passo 3
Para que a superfície de nível
seja não vazia, o valor de
precisa estar dentro do conjunto de valores que a função
pode assumir. Esse conjunto de valores é chamado de imagem da função. Em outras palavras, precisamos que exista pelo menos um ponto
tal que
.
Passo 4
Então, para determinar para quais valores de
a superfície de nível não é vazia, precisamos identificar todos os possíveis valores que
pode tomar. Isso depende da forma específica da função
. Por exemplo, se
, os valores possíveis de
seriam todos os números reais não negativos, já que a soma de quadrados nunca é negativa.
Resposta
A superfície de nível
é não vazia para todos os valores de
que pertencem à imagem da função
. Ou seja, existe pelo menos um ponto
que satisfaz
para esses valores de
.
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(d)
(d)
Seja
ou
. Uma função
é dita homogênea de grau
, se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
Considere a função de produção
. Mostre que
tem retornos constantes de escala quando
.
Nos seguintes problemas, calcule o limite de
quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados
ao longo do eixo
;
ao longo da reta
.