Para quais valores de k o gráfico da superfície de nível f(x, y, z) = k é não vazio?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis, f(x, y, z), e queremos descobrir para quais valores de k a superfície de nível existe, ou seja, não é vazia. Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como determinar os valores de k que tornam essa equação possível. Para resolver isso, vamos precisar saber qual é a função f(x, y, z) específica que estamos analisando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como f(x, y, z), é o conjunto de pontos (x, y, z) que satisfazem a equação para um valor fixo de k. É como se estivéssemos “cortando” a função em diferentes alturas k para ver onde essa “corte” existe.

Passo 3

Para que a superfície de nível seja não vazia, o valor de k precisa estar dentro do conjunto de valores que a função f pode assumir. Esse conjunto de valores é chamado de imagem da função. Em outras palavras, precisamos que exista pelo menos um ponto (x, y, z) tal que .

Passo 4

Então, para determinar para quais valores de k a superfície de nível não é vazia, precisamos identificar todos os possíveis valores que f(x, y, z) pode tomar. Isso depende da forma específica da função f. Por exemplo, se , os valores possíveis de k seriam todos os números reais não negativos, já que a soma de quadrados nunca é negativa.

Resposta

A superfície de nível é não vazia para todos os valores de k que pertencem à imagem da função f. Ou seja, existe pelo menos um ponto (x, y, z) que satisfaz para esses valores de k.

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