Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função
, encontrar o conjunto imagem dessa função, identificar onde o gráfico cruza os eixos coordenados e também os pontos onde o comportamento do gráfico muda, tipo o vértice de uma parábola. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da função. Aqui temos
, que é uma função quadrática. Funções quadráticas têm a forma geral
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
O coeficiente
nos diz que a parábola abre para baixo. Isso significa que o gráfico terá um ‘teto’ e irá se estender para baixo. Se
fosse positivo, a parábola abriria para cima.
Passo 4
Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto onde ocorre a mudança de comportamento. A fórmula para a coordenada
do vértice é
. Substituindo os valores, temos:
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Então, o vértice está no ponto
.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados:
- Interseção com o eixo
: Para encontrar isso, substituímos na função:
Então, a interseção com o eixo
é no ponto
.
- Interseção com o eixo
: Para encontrar isso, resolvemos :
Então, a interseção com o eixo
também é no ponto
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função. O conjunto imagem são todos os valores que
pode assumir. Como a parábola abre para baixo e o vértice está em
, os valores de
serão menores ou iguais a 0. Portanto, o conjunto imagem é:
Passo 7
Por último, vamos desenhar o gráfico:
- O vértice está em
. - A parábola abre para baixo.
- Ela intercepta os eixos coordenados no ponto
. - À medida que
se afasta do 0, fica cada vez mais negativo.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola com vértice em
, que abre para baixo. Ela intercepta os eixos coordenados no ponto
. O conjunto imagem da função é
. Não há outros pontos de interseção ou mudança de comportamento além do vértice.
Exercícios relacionados
Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo.
(a)
(a)
Uma companhia de distribuição de energia elétrica cobra
de taxa base por mês, mais
por kilowatt-hora ( kWh ) pelos primeiros 150 kWh usados e
por kWh por todo uso superior a 150 kWh . Suponha que um consumidor usou
de eletricidade num mês. Expresse o custo mensal
como uma função de
e faça seu gráfico para
.
Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(d)
(d)
Considere a função quadrática
, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima. Determine o maior
tal que o gráfico de
não toca o eixo-
quando
.