Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função , encontrar o conjunto imagem dessa função, identificar onde o gráfico cruza os eixos coordenados e também os pontos onde o comportamento do gráfico muda, tipo o vértice de uma parábola. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da função. Aqui temos , que é uma função quadrática. Funções quadráticas têm a forma geral . No nosso caso, , e .

Passo 3

O coeficiente nos diz que a parábola abre para baixo. Isso significa que o gráfico terá um ‘teto’ e irá se estender para baixo. Se fosse positivo, a parábola abriria para cima.

Passo 4

Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto onde ocorre a mudança de comportamento. A fórmula para a coordenada do vértice é . Substituindo os valores, temos:
Agora, substituímos na função para encontrar :
Então, o vértice está no ponto .

Passo 5

Vamos encontrar os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados:
  • Interseção com o eixo : Para encontrar isso, substituímos na função:
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
  • Interseção com o eixo : Para encontrar isso, resolvemos :
Então, a interseção com o eixo também é no ponto .

Passo 6

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função. O conjunto imagem são todos os valores que pode assumir. Como a parábola abre para baixo e o vértice está em , os valores de serão menores ou iguais a 0. Portanto, o conjunto imagem é:

Passo 7

Por último, vamos desenhar o gráfico:
  • O vértice está em .
  • A parábola abre para baixo.
  • Ela intercepta os eixos coordenados no ponto .
  • À medida que se afasta do 0, fica cada vez mais negativo.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola com vértice em , que abre para baixo. Ela intercepta os eixos coordenados no ponto . O conjunto imagem da função é . Não há outros pontos de interseção ou mudança de comportamento além do vértice.

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