Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
.
c) Calcule
.
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite da sequência
quando
cresce sem parar. A gente está lidando com funções quadráticas (
) e somas de Riemann, que são ferramentas usadas no cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como montar a soma e aplicar o conceito de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Aqui,
. Isso representa a largura de cada subintervalo no nosso intervalo [0,1].
Passo 3
Agora, vamos montar a soma
. Ela é dada por:
Como
, substituímos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que a soma dos quadrados de
de 1 a
é:
Passo 5
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Dividindo cada termo do numerador por
:
Resposta
Exercícios relacionados
Sabendo que
, utilize a fórmula do comprimento de arco para provar que o comprimento da semicircunferência
é
.
A região situada abaixo do gráfico da função
e acima do intervalo
é ilimitada. Ela tem área finita ou infinita?
Considere a função racional
(a) Faça a decomposição de
por meio de frações parciais.
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
© Use a substituição trigonométrica
para checar a resposta obtida no item (b).
a)