Seja f(x)=x^2, com x in[0,1] e a sequência de termo geral sn=sumi=1^n f(in) cdot De, sendo De.
c) Calcule lim sn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite da sequência quando cresce sem parar. A gente está lidando com funções quadráticas ( ) e somas de Riemann, que são ferramentas usadas no cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como montar a soma e aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Aqui, . Isso representa a largura de cada subintervalo no nosso intervalo [0,1].

Passo 3

Agora, vamos montar a soma sn = sumi=1^n f(in) cdot De. Ela é dada por:
sn = sumi=1^n (in)^2 cdot 1n
Como , substituímos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
sn = 1n^3 sumi=1^n i^2
Sabemos que a soma dos quadrados de sumi=1^n i^2 = n(n+1)(2n+1)6 de 1 a é:

Passo 5

Substituindo na expressão de sn = 1n^3 cdot n(n+1)(2n+1)6 = (n+1)(2n+1)6n^2 :

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty (n+1)(2n+1)6n^2 quando limn to infty 2n^2 + 3n + 16n^2 = 26 = 13 tende ao infinito:
Dividindo cada termo do numerador por :

Resposta

lim sn = 13

Exercícios relacionados