Seja , com e a sequência de termo geral , sendo .
c) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite da sequência quando cresce sem parar. A gente está lidando com funções quadráticas ( ) e somas de Riemann, que são ferramentas usadas no cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como montar a soma e aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Aqui, . Isso representa a largura de cada subintervalo no nosso intervalo [0,1].

Passo 3

Agora, vamos montar a soma . Ela é dada por:
Como , substituímos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que a soma dos quadrados de de 1 a é:

Passo 5

Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Dividindo cada termo do numerador por :

Resposta

Exercícios relacionados

Sabendo que , utilize a fórmula do comprimento de arco para provar que o comprimento da semicircunferência é .
A região situada abaixo do gráfico da função e acima do intervalo é ilimitada. Ela tem área finita ou infinita?
Considere a função racional
(a) Faça a decomposição de por meio de frações parciais.
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
© Use a substituição trigonométrica para checar a resposta obtida no item (b).
a)