Sabendo que
, utilize a fórmula do comprimento de arco para provar que o comprimento da semicircunferência
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma integral e nos pede para usar a fórmula do comprimento de arco para provar que a semicircunferência
tem comprimento
. Vamos precisar lembrar como calcular o comprimento de uma curva usando integrais e aplicar a fórmula correta para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco. Se temos uma função
, o comprimento do arco entre dois pontos
e
é dado por:
Vamos usar essa fórmula para a nossa semicircunferência.
Passo 3
Nossa função é
. Primeiro, precisamos calcular a derivada
:
Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Assim, o comprimento do arco fica:
Lembra do enunciado? Ele nos deu que:
Passo 6
Vamos usar essa integral para calcular
:
Calculando nos limites:
Então:
Resposta
O comprimento da semicircunferência
é
.
Exercícios relacionados
A região situada abaixo do gráfico da função
e acima do intervalo
é ilimitada. Ela tem área finita ou infinita?
Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
.
c) Calcule .
c) Calcule
Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
.
c) Calcule .
c) Calcule
Considere a função racional
(a) Faça a decomposição de
por meio de frações parciais.
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
© Use a substituição trigonométrica
para checar a resposta obtida no item (b).