Sabendo que integral 1raizr^2-x^2 d x= sin ^-1(xr)+C, utilize a fórmula do comprimento de arco para provar que o comprimento da semicircunferência y=raizr^2-x^2 é L=pi r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma integral e nos pede para usar a fórmula do comprimento de arco para provar que a semicircunferência tem comprimento . Vamos precisar lembrar como calcular o comprimento de uma curva usando integrais e aplicar a fórmula correta para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco. Se temos uma função L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx , o comprimento do arco entre dois pontos e é dado por:
Vamos usar essa fórmula para a nossa semicircunferência.

Passo 3

Nossa função é dydx = ddx ( raizr^2-x^2 ) = -xraizr^2-x^2 . Primeiro, precisamos calcular a derivada :
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos L = integral-r^r raiz1 + x^2r^2-x^2 , dx na fórmula do comprimento de arco:
1 + x^2r^2-x^2 = r^2-x^2 + x^2r^2-x^2 = r^2r^2-x^2
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Assim, o comprimento do arco fica:
L = integral-r^r raizr^2r^2-x^2 , dx = integral-r^r rraizr^2-x^2 , dx = r integral-r^r 1raizr^2-x^2 , dx
Lembra do enunciado? Ele nos deu que:
integral 1raizr^2-x^2 , dx = sin^-1(xr) + C

Passo 6

Vamos usar essa integral para calcular L = r [ sin^-1(xr) ]-r^r :
sin^-1(rr) = sin^-1(1) = pi2
Calculando nos limites:
sin^-1(-rr) = sin^-1(-1) = -pi2
L = r ( pi2 - (-pi2) ) = r ( pi2 + pi2 ) = r pi
Então:

Resposta

O comprimento da semicircunferência é .

Exercícios relacionados