Sabendo que , utilize a fórmula do comprimento de arco para provar que o comprimento da semicircunferência é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma integral e nos pede para usar a fórmula do comprimento de arco para provar que a semicircunferência tem comprimento . Vamos precisar lembrar como calcular o comprimento de uma curva usando integrais e aplicar a fórmula correta para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco. Se temos uma função , o comprimento do arco entre dois pontos e é dado por:
Vamos usar essa fórmula para a nossa semicircunferência.

Passo 3

Nossa função é . Primeiro, precisamos calcular a derivada :
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Assim, o comprimento do arco fica:
Lembra do enunciado? Ele nos deu que:

Passo 6

Vamos usar essa integral para calcular :
Calculando nos limites:
Então:

Resposta

O comprimento da semicircunferência é .

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A região situada abaixo do gráfico da função e acima do intervalo é ilimitada. Ela tem área finita ou infinita?
Seja , com e a sequência de termo geral , sendo .
c) Calcule .
Seja , com e a sequência de termo geral , sendo .
c) Calcule .
Considere a função racional
(a) Faça a decomposição de por meio de frações parciais.
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
© Use a substituição trigonométrica para checar a resposta obtida no item (b).