Considere função racional
f(x)=-6 x^5+5 x^4+4 x^3-3 x^2-2 x+2x^3-2 x+1
Calcule lim x 1 f(x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite da função racional
f(x)=-6 x^5+5 x^4+4 x^3-3 x^2-2 x+2x^3-2 x+1
quando se aproxima de 1. Estamos trabalhando com limites em funções racionais e precisaremos utilizar técnicas de cálculo para encontrar esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir f(1)=-6(1)^5 +5(1)^4 +4(1)^3 -3(1)^2 -2(1)+2(1)^3 -2(1)+1 = -6 +5 +4 -3 -2 +21 -2 +1 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite assim:
Substituindo na função:
Obtemos uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos usar uma técnica diferente para resolver.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação em limites de funções racionais, uma das técnicas que podemos usar é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e, então, calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
Derivada do numerador:
ddx(-6 x^5+5 x^4+4 x^3-3 x^2-2 x+2) = -30 x^4 +20 x^3 +12 x^2 -6 x -2
Derivada do denominador:
ddx(x^3-2 x+1) = 3 x^2 -2

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo o limite original pelas derivadas encontradas:
lim x 1 -30 x^4 +20 x^3 +12 x^2 -6 x -23 x^2 -2
Vamos substituir -30(1)^4 +20(1)^3 +12(1)^2 -6(1) -23(1)^2 -2 = -30 +20 +12 -6 -23 -2 = -61 = -6 nessa nova função:

Resposta

O limite é .

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