Considere função racional
Existe
tal que
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. A questão quer saber se existe um valor de
no intervalo
tal que
. Para resolver isso, vamos precisar do conhecimento sobre funções polinomiais e o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em um intervalo.
Passo 2
Como
, isso significa que o numerador da fração deve ser igual a zero. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Vamos chamar esse polinômio de
. Para encontrar se há uma raiz em
, vamos calcular
e
:
Passo 4
Observamos que
e
. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assumi valores de sinais distintos em um intervalo, então existe pelo menos um
nesse intervalo onde a função é zero.
Passo 5
No nosso caso,
e
. Embora
, precisamos verificar se há uma mudança de sinal dentro do intervalo
.
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Como
,
e
, todos os valores são positivos ou zero. Não há mudança de sinal dentro de
, exceto no ponto
, onde
.
Passo 8
Portanto, não há um valor de
em
tal que
. A única raiz neste intervalo é exatamente em
, que não está inclusa no intervalo aberto
.
Resposta
Não, não existe nenhum
no intervalo
tal que
.
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Trate dos seguintes limites:
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Calcule