Considere função racional
Existe tal que ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. A questão quer saber se existe um valor de no intervalo tal que . Para resolver isso, vamos precisar do conhecimento sobre funções polinomiais e o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em um intervalo.

Passo 2

Como , isso significa que o numerador da fração deve ser igual a zero. Ou seja, precisamos resolver a equação:

Passo 3

Vamos chamar esse polinômio de . Para encontrar se há uma raiz em , vamos calcular e :

Passo 4

Observamos que e . Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assumi valores de sinais distintos em um intervalo, então existe pelo menos um nesse intervalo onde a função é zero.

Passo 5

No nosso caso, e . Embora , precisamos verificar se há uma mudança de sinal dentro do intervalo .

Passo 6

Vamos calcular :

Passo 7

Como , e , todos os valores são positivos ou zero. Não há mudança de sinal dentro de , exceto no ponto , onde .

Passo 8

Portanto, não há um valor de em tal que . A única raiz neste intervalo é exatamente em , que não está inclusa no intervalo aberto .

Resposta

Não, não existe nenhum no intervalo tal que .

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