Trate dos seguintes limites: lim t 0(1t raiz9+t-13 t)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim t 0(1t raiz9+t-13 t). Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse limite, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar técnicas de álgebra para manipular as frações envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que ambas as frações têm o termo t no denominador, então podemos fatorar esse termo para facilitar a manipulação:
1t raiz9+t - 13 t = 1t(1raiz9+t - 13)
Aqui, extraímos 1/t como fator comum.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte dentro dos parênteses: 1raiz9+t - 13. Para simplificar essa diferença de frações, encontraremos um denominador comum. O denominador comum para raiz9+t e 3 é 3raiz9+t. Assim, reescrevemos as frações:
1raiz9+t = 33raiz9+t e 13 = raiz9+t3raiz9+t
Substituindo na expressão original:
1raiz9+t - 13 = 3 - raiz9+t3raiz9+t

Passo 4

Voltando à nossa expressão inicial, temos:
1t(3 - raiz9+t3raiz9+t) = 3 - raiz9+t3 t raiz9+t
Agora, nossa tarefa é calcular o limite dessa expressão conforme t se aproxima de 0.

Passo 5

Vamos analisar o numerador 3 - raiz9+t quando t tende a 0. Podemos expandir a raiz usando uma aproximação de Taylor para simplificar:
raiz9+t = 3raiz1 + t9 approx 3(1 + t18) = 3 + t6
Portanto,
3 - raiz9+t approx 3 - (3 + t6) = -t6

Passo 6

Substituindo essa aproximação na nossa expressão do limite:
-t63 t raiz9+t = -t63 t cdot 3 = -t69 t = -154
Note que o termo t no numerador e no denominador cancelam, deixando apenas um valor constante.

Resposta

O limite é - dfrac154.

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