Trate dos seguintes limites:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse limite, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar técnicas de álgebra para manipular as frações envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que ambas as frações têm o termo
no denominador, então podemos fatorar esse termo para facilitar a manipulação:
Aqui, extraímos
como fator comum.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte dentro dos parênteses:
. Para simplificar essa diferença de frações, encontraremos um denominador comum. O denominador comum para
e
é
. Assim, reescrevemos as frações:
Substituindo na expressão original:
Passo 4
Voltando à nossa expressão inicial, temos:
Agora, nossa tarefa é calcular o limite dessa expressão conforme
se aproxima de
.
Passo 5
Vamos analisar o numerador
quando
tende a
. Podemos expandir a raiz usando uma aproximação de Taylor para simplificar:
Portanto,
Passo 6
Substituindo essa aproximação na nossa expressão do limite:
Note que o termo
no numerador e no denominador cancelam, deixando apenas um valor constante.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Considere função racional
Calcule
Considere função racional
Determine os números reais nos quais
não está definida.
Considere função racional
Existe
tal que
?