Trate dos seguintes limites:

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse limite, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar técnicas de álgebra para manipular as frações envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que ambas as frações têm o termo no denominador, então podemos fatorar esse termo para facilitar a manipulação:
Aqui, extraímos como fator comum.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte dentro dos parênteses: . Para simplificar essa diferença de frações, encontraremos um denominador comum. O denominador comum para e é . Assim, reescrevemos as frações:
Substituindo na expressão original:

Passo 4

Voltando à nossa expressão inicial, temos:
Agora, nossa tarefa é calcular o limite dessa expressão conforme se aproxima de .

Passo 5

Vamos analisar o numerador quando tende a . Podemos expandir a raiz usando uma aproximação de Taylor para simplificar:
Portanto,

Passo 6

Substituindo essa aproximação na nossa expressão do limite:
Note que o termo no numerador e no denominador cancelam, deixando apenas um valor constante.

Resposta

O limite é .

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