Considere uma função racional p(s)q(s), onde q(s) é um polinômio com n raízes distintas: q(s)= (s-s1) cdots(s-sn).
Mostre que
mathscrL^-p(s)q(s)(t)=p(s1)q^prime(s1) e^s1 t+cdots p(sn)q^prime(sn) e^sn t
Use este resultado para calcular
mathscrL^-1s^3s^4-1(t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função racional da forma , onde é um polinômio com raízes diferentes: .
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace, especificamente a transformada inversa de funções racionais.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecer a definição da transformada inversa de Laplace.
  • Entender como decompor frações parciais.
  • Saber lidar com exponenciais na transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a expressão representa. Isso é a transformada inversa de Laplace da função , ou seja, estamos procurando a função no tempo que corresponde a essa função no domínio de .

Passo 3

Como tem raízes distintas, podemos usar a técnica de frações parciais para decompor . Cada fator no denominador vai corresponder a um termo na expansão.

Passo 4

A fórmula geral para a transformada inversa nesse caso é:
mathscrL^-1p(s)q(s)(t) = sumi=1^n p(si)q'(si) e^si t
Explicação:
  • é o numerador avaliado na raiz .
  • é a derivada do polinômio avaliada na raiz .
  • é a função exponencial resultante da transformada inversa.

Passo 5

Vamos aplicar esse resultado para calcular .
Primeiro, identifiquemos e :

Passo 6

Vamos encontrar as raízes de s^4 - 1 = 0 implies s^4 = 1 implies s = 1, -1, i, -i :
Então, as raízes são , , e .

Passo 7

Agora, calculamos a derivada de q'(s) = dds(s^4 - 1) = 4s^3 :
q'(1) = 4(1)^3 = 4 q'(-1) = 4(-1)^3 = -4 q'(i) = 4(i)^3 = 4(-i) = -4i q'(-i) = 4(-i)^3 = 4(i) = 4i
Avalie em cada raiz:

Passo 8

Agora, calculamos p(s) = s^3 p(1) = 1^3 = 1 p(-1) = (-1)^3 = -1 p(i) = (i)^3 = -i p(-i) = (-i)^3 = i para cada raiz:

Passo 9

Aplicamos a fórmula da transformada inversa para cada termo:
mathscrL^-1s^3s^4-1(t) = 14e^1 cdot t + -1-4e^-1 cdot t + -i-4ie^i t + i4ie^-i t

Passo 10

Simplificamos cada fração:
14e^t + 14e^-t + 14e^i t + -14e^-i t

Passo 11

Reconhecemos que 14e^t + 14e^-t + 14(2cos(t)) = 14e^t + 14e^-t + 12cos(t) , então:

Resposta

mathscrL^-1s^3s^4-1(t) = 14e^t + 14e^-t + 12cos(t)

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