Considere uma função racional
, onde
é um polinômio com
raízes distintas:
.
Mostre que
Use este resultado para calcular
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função racional da forma
, onde
é um polinômio com
raízes diferentes:
.
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace, especificamente a transformada inversa de funções racionais.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecer a definição da transformada inversa de Laplace.
- Entender como decompor frações parciais.
- Saber lidar com exponenciais na transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a expressão
representa. Isso é a transformada inversa de Laplace da função
, ou seja, estamos procurando a função no tempo
que corresponde a essa função no domínio de
.
Passo 3
Como
tem
raízes distintas, podemos usar a técnica de frações parciais para decompor
. Cada fator
no denominador vai corresponder a um termo na expansão.
Passo 4
A fórmula geral para a transformada inversa nesse caso é:
Explicação:
-
é o numerador avaliado na raiz . -
é a derivada do polinômio avaliada na raiz . -
é a função exponencial resultante da transformada inversa.
Passo 5
Vamos aplicar esse resultado para calcular
.
Primeiro, identifiquemos
e
:
Passo 6
Vamos encontrar as raízes de
:
Então, as raízes são
,
,
e
.
Passo 7
Agora, calculamos a derivada de
:
Avalie
em cada raiz:
Passo 8
Agora, calculamos
para cada raiz:
Passo 9
Aplicamos a fórmula da transformada inversa para cada termo:
Passo 10
Simplificamos cada fração:
Passo 11
Reconhecemos que
, então:
Resposta
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A função
é de ordem exponencial?
Resolva cada equação em
.
Calcule as derivadas
Ache as derivadas
e
de: