A função
é de ordem exponencial?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “A função
é de ordem exponencial?” Então, estamos falando sobre análise de ordens de crescimento de funções, especificamente se
cresce de forma exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e comparar o crescimento de
com funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é uma função de ordem exponencial. Uma função
é dita ser de ordem exponencial se ela cresce proporcionalmente a uma função exponencial, ou seja, existe uma constante
tal que
para algum
e para todo
suficientemente grande. Em termos simples,
não cresce mais rápido do que uma função exponencial.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa função pode ser reescrita usando logaritmos para facilitar a comparação:
Aqui,
é o logaritmo natural de
. Então,
cresce como
.
Passo 4
Comparando com uma função exponencial genérica
, onde
é uma constante positiva, temos:
Para determinar se
é de ordem exponencial, precisamos verificar se
é limitado por um termo linear em
, ou seja, se existe um
tal que:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de
quando
cresce. Sabemos que
cresce sem limite, mas de forma mais lenta que qualquer potência positiva de
. No entanto, mesmo que
cresça lentamente, o termo
ainda cresce mais rápido que uma função linear
, pois o produto
aumenta sem limite conforme
cresce.
Passo 6
Portanto,
cresce mais rapidamente do que qualquer função exponencial
. Isso significa que não existe um
constante que satisfaça
para todo
grande o suficiente.
Resposta
Não, a função
não é de ordem exponencial, pois ela cresce mais rapidamente do que qualquer função exponencial.
Exercícios relacionados
Resolva cada equação em
.
Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Considere uma função racional
, onde
é um polinômio com
raízes distintas:
.
Mostre que
Mostre que
Use este resultado para calcular
Calcule as derivadas