A função t^t é de ordem exponencial?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “A função é de ordem exponencial?” Então, estamos falando sobre análise de ordens de crescimento de funções, especificamente se cresce de forma exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e comparar o crescimento de com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é uma função de ordem exponencial. Uma função é dita ser de ordem exponencial se ela cresce proporcionalmente a uma função exponencial, ou seja, existe uma constante tal que para algum e para todo suficientemente grande. Em termos simples, não cresce mais rápido do que uma função exponencial.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa função pode ser reescrita usando logaritmos para facilitar a comparação:
Aqui, é o logaritmo natural de . Então, cresce como .

Passo 4

Comparando com uma função exponencial genérica , onde é uma constante positiva, temos:
Para determinar se é de ordem exponencial, precisamos verificar se é limitado por um termo linear em , ou seja, se existe um tal que:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de quando cresce. Sabemos que cresce sem limite, mas de forma mais lenta que qualquer potência positiva de . No entanto, mesmo que cresça lentamente, o termo ainda cresce mais rápido que uma função linear , pois o produto aumenta sem limite conforme cresce.

Passo 6

Portanto, cresce mais rapidamente do que qualquer função exponencial . Isso significa que não existe um constante que satisfaça para todo grande o suficiente.

Resposta

Não, a função não é de ordem exponencial, pois ela cresce mais rapidamente do que qualquer função exponencial.

Exercícios relacionados

Resolva cada equação em x. ln(2x-1) = 3
Escreva uma fórmula para a função inversa f^-1 fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que Im(f^-1) = Dom(f) e Dom(f inverso) = Im(f).] y = ln(x + 3)
Considere uma função racional p(s)q(s), onde q(s) é um polinômio com n raízes distintas: q(s)= (s-s1) cdots(s-sn).
Mostre que
mathscrL^-p(s)q(s)(t)=p(s1)q^prime(s1) e^s1 t+cdots p(sn)q^prime(sn) e^sn t
Use este resultado para calcular
mathscrL^-1s^3s^4-1(t)
Calcule as derivadas
f(x) = x e^(2 x) + x^2