Considere a função f(x) = raiz(x^3 - x^2 + 1). © Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de f(1,02).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa usar a linearização que encontramos para calcular um valor aproximado de . Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente a ideia de linearização, que é uma maneira de aproximar funções usando suas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização. A linearização de uma função em torno de um ponto é uma função linear que aproxima perto desse ponto. A fórmula da linearização é:
Aqui, é a derivada de avaliada em .

Passo 3

Vamos escolher um ponto próximo de onde queremos aproximar, que é . O número mais fácil para trabalhar é . Então, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada . A função é . Podemos reescrever isso como . Usando a regra da cadeia, a derivada é:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Primeiro, calculemos em :
Então,

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a linearização:

Passo 8

Queremos aproximar . Substituímos na linearização:

Resposta

O valor aproximado de usando a linearização é 1,01.

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