Considere a função
. © Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa usar a linearização que encontramos para calcular um valor aproximado de
. Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente a ideia de linearização, que é uma maneira de aproximar funções usando suas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização. A linearização de uma função
em torno de um ponto
é uma função linear que aproxima
perto desse ponto. A fórmula da linearização é:
Aqui,
é a derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Vamos escolher um ponto
próximo de onde queremos aproximar, que é
. O número mais fácil para trabalhar é
. Então, vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada
. A função é
. Podemos reescrever isso como
. Usando a regra da cadeia, a derivada é:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Primeiro, calculemos
em
:
Então,
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a linearização:
Passo 8
Queremos aproximar
. Substituímos
na linearização:
Resposta
O valor aproximado de
usando a linearização é 1,01.
Exercícios relacionados
Dada a função
. Determinar a expressão desta função em relação ao sistema de coordenadas cuja origem está no ponto
mantendo-se o sentido dos eixos.
Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
.
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados: