Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
5 x^2 + 3 x y + y^2 - 4 = 0 ; theta = arcsen(raiz(10)/10)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra transformar a equação usando uma rotação dos eixos coordenados com um ângulo . Isso faz parte do estudo de geometria analítica, onde a gente aprende a manipular equações de conicas (como parábolas, elipses e hipérboles) quando rotacionamos os eixos. Vamos precisar usar as fórmulas de rotação de coordenadas para transformar a equação original para o novo sistema de coordenadas rotacionado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de rotação de coordenadas. Quando a gente rotaciona os eixos em um ângulo , as novas coordenadas estão relacionadas com as antigas por:
Vamos usar essas expressões para substituir e na equação original.

Passo 3

Antes de substituir, precisamos calcular e . Sabemos que , então:
Como , podemos encontrar :

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir e na equação original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos expandir cada termo passo a passo.
Primeiro, :
Segundo, :
Terceiro, :

Passo 6

Agora, vamos substituir essas expansões na equação e simplificar:
Vamos distribuir os coeficientes:

Passo 7

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
E o termo constante:

Passo 8

Vamos substituir e nos termos agrupados.
Primeiro, calcular os coeficientes de :
Segundo, os coeficientes de :
Terceiro, os coeficientes de :

Passo 9

Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por 0.5 para simplificar ainda mais:

Resposta

A equação transformada após a rotação dos eixos é:

Exercícios relacionados

Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
x^2 - 2xy + y^2 - x = 0 ; theta = 45 graus.
Considere a função f(x) = raiz(x^3 - x^2 + 1). © Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de f(1,02).
Encontre um número c tal que a < c < b e que a reta tangente ao gráfico de cada função f em (c, f(c)) seja paralela à secante que passa pelos os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Esboce o gráfico de f e mostre a tangente e a secante.
(a) f(x) = x^2, a = 2, b = 4
(b) f(x) = raiz(x), a = 4, b = 9
© f(x) = x^3, a = 1, b = 3
Considere a função f(x) = (2 - x^2) / (x^2 - 4). Então f'(x) = 4x / (x^2 - 4)^2 e f''(x) = -4(3x^2 + 4) / (x^2 - 4)^3 (a) Descreva o domínio da função f.