Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra transformar a equação usando uma rotação dos eixos coordenados com um ângulo . Isso faz parte do estudo de geometria analítica, onde a gente aprende a manipular equações de conicas (como parábolas, elipses e hipérboles) quando rotacionamos os eixos. Vamos precisar usar as fórmulas de rotação de coordenadas para transformar a equação original para o novo sistema de coordenadas rotacionado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de rotação de coordenadas. Quando a gente rotaciona os eixos em um ângulo , as novas coordenadas estão relacionadas com as antigas por:
Vamos usar essas expressões para substituir e na equação original.
Passo 3
Antes de substituir, precisamos calcular e . Sabemos que , então:
Como , podemos encontrar :
Passo 4
Agora que temos e , vamos substituir e na equação original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos expandir cada termo passo a passo.
Primeiro, :
Segundo, :
Terceiro, :
Passo 6
Agora, vamos substituir essas expansões na equação e simplificar:
Vamos distribuir os coeficientes:
Passo 7
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Termos de :
Termos de :
Termos de :
E o termo constante:
Passo 8
Vamos substituir e nos termos agrupados.
Primeiro, calcular os coeficientes de :
Segundo, os coeficientes de :
Terceiro, os coeficientes de :
Passo 9
Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :
Para :
Passo 10
Agora, substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por 0.5 para simplificar ainda mais:
Resposta
A equação transformada após a rotação dos eixos é: