Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
x^2 - 2xy + y^2 - x = 0 ; theta = 45 graus.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para transformar a equação usando uma rotação dos eixos coordenados de . Isso envolve aplicar a matéria de Rotação de Eixos, onde a gente vai usar fórmulas específicas para mudar as variáveis e para novas variáveis e após a rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de rotação dos eixos. Se a gente rotacionar os eixos em um ângulo , as novas coordenadas e são dadas por:
No nosso caso, . Sabemos que , então podemos substituir esses valores nas fórmulas.

Passo 3

Vamos substituir e na equação original usando as fórmulas de rotação:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:
Agora, juntando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

Depois de simplificar, a equação transformada após uma rotação de é:

Exercícios relacionados

Considere a função f(x) = raiz(x^3 - x^2 + 1). © Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de f(1,02).
Dada a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 8y. Determinar a expressão desta função em relação ao sistema de coordenadas cuja origem está no ponto 3,-4 mantendo-se o sentido dos eixos.
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
5 x^2 + 3 x y + y^2 - 4 = 0 ; theta = arcsen(raiz(10)/10)
Encontre um número c tal que a < c < b e que a reta tangente ao gráfico de cada função f em (c, f(c)) seja paralela à secante que passa pelos os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Esboce o gráfico de f e mostre a tangente e a secante.
(a) f(x) = x^2, a = 2, b = 4
(b) f(x) = raiz(x), a = 4, b = 9
© f(x) = x^3, a = 1, b = 3