Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
x^2 - 2xy + y^2 - x = 0 ; theta = 45 graus.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para transformar a equação usando uma rotação dos eixos coordenados de . Isso envolve aplicar a matéria de Rotação de Eixos, onde a gente vai usar fórmulas específicas para mudar as variáveis e para novas variáveis e após a rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de rotação dos eixos. Se a gente rotacionar os eixos em um ângulo , as novas coordenadas e são dadas por:
No nosso caso, . Sabemos que , então podemos substituir esses valores nas fórmulas.

Passo 3

Vamos substituir e na equação original usando as fórmulas de rotação:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:
Agora, juntando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

Depois de simplificar, a equação transformada após uma rotação de é:

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