Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para transformar a equação
usando uma rotação dos eixos coordenados de
. Isso envolve aplicar a matéria de Rotação de Eixos, onde a gente vai usar fórmulas específicas para mudar as variáveis
e
para novas variáveis
e
após a rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de rotação dos eixos. Se a gente rotacionar os eixos em um ângulo
, as novas coordenadas
e
são dadas por:
No nosso caso,
. Sabemos que
, então podemos substituir esses valores nas fórmulas.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação original usando as fórmulas de rotação:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Agora, juntando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
Depois de simplificar, a equação transformada após uma rotação de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
. © Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de
.
Dada a função
. Determinar a expressão desta função em relação ao sistema de coordenadas cuja origem está no ponto
mantendo-se o sentido dos eixos.
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©