Considere a função . Determine tal que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar um valor para que faça sentido. O objetivo é garantir que, se estiver bem perto de 4 (menos que de distância), então estará bem próximo de 2 (menos que 0,4 de diferença). Vamos usar conceitos de desigualdades e propriedades das funções para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição que a gente quer satisfazer:
Como , podemos substituir:
Isso significa que a diferença entre e 2 deve ser menor que 0,4.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade para . Primeiro, eliminamos o valor absoluto:
Agora, vamos adicionar 2 em todas as partes da desigualdade para isolar :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos elevar todos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Calculando:

Passo 5

Queremos que esteja perto de 4, ou seja, . Mas já sabemos que . Vamos ver o quanto 4 está afastado desses extremos.
A distância entre 4 e 2,56 é:
E a distância entre 4 e 5,76 é:
Para garantir que fique dentro de ambos os intervalos, escolhemos o menor desses valores como nosso . Assim, .

Resposta

Portanto, o valor de que satisfaz a condição é .

Exercícios relacionados

Neste exercício seu objetivo será estimar o valor de por meio de uma aproximação linear.
a. Qual função pode ajudar a chegar ao resultado?
Seja um polinômio de grau arbitrário .
(a) Calcule .O que podemos concluir sobre o crescimento da exponencial?
(Vale o seguinte fato: para qualquer .)
(b) Por outro lado, calcule . O que esse resultado diz sobre o crescimento do logaritmo?
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c. Qual a estimativa para a partir do cálculo que você fez no item anterior?