Considere a função
. Determine
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar um valor para
que faça sentido. O objetivo é garantir que, se
estiver bem perto de 4 (menos que
de distância), então
estará bem próximo de 2 (menos que 0,4 de diferença). Vamos usar conceitos de desigualdades e propriedades das funções para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição que a gente quer satisfazer:
Como
, podemos substituir:
Isso significa que a diferença entre
e 2 deve ser menor que 0,4.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade para
. Primeiro, eliminamos o valor absoluto:
Agora, vamos adicionar 2 em todas as partes da desigualdade para isolar
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos elevar todos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Calculando:
Passo 5
Queremos que
esteja perto de 4, ou seja,
. Mas já sabemos que
. Vamos ver o quanto 4 está afastado desses extremos.
A distância entre 4 e 2,56 é:
E a distância entre 4 e 5,76 é:
Para garantir que
fique dentro de ambos os intervalos, escolhemos o menor desses valores como nosso
. Assim,
.
Resposta
Portanto, o valor de
que satisfaz a condição é
.
Exercícios relacionados
Neste exercício seu objetivo será estimar o valor de
por meio de uma aproximação linear.
a. Qual função pode ajudar a chegar ao resultado?
a. Qual função pode ajudar a chegar ao resultado?
Seja
um polinômio de grau arbitrário
.
(a) Calcule .O que podemos concluir sobre o crescimento da exponencial?
(Vale o seguinte fato: para qualquer
.)
(b) Por outro lado, calcule . O que esse resultado diz sobre o crescimento do logaritmo?
(a) Calcule
(Vale o seguinte fato:
(b) Por outro lado, calcule
Neste exercício seu objetivo será estimar o valor de
por meio de uma aproximação linear.
c. Qual a estimativa para a partir do cálculo que você fez no item anterior?
c. Qual a estimativa para