Seja p(x)=x^n+1+an x^n+an-1 x^n-1+ldots+a1 x+a0 um polinômio de grau arbitrário n+1.
(a) Calcule lim x +infty e^xp(x).O que podemos concluir sobre o crescimento da exponencial?
(Vale o seguinte fato: e^x >= 1k! x^k para qualquer k.)
(b) Por outro lado, calcule lim x +infty log (x)x. O que esse resultado diz sobre o crescimento do logaritmo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos um polinômio de grau . A gente precisa calcular dois limites:
a) e entender o que isso nos diz sobre o crescimento da função exponencial.
b) e o que isso revela sobre o crescimento do logaritmo.
Para resolver esses problemas, vamos usar conceitos de limites de funções e comparar o crescimento de diferentes tipos de funções (como exponenciais, polinomiais e logarítmicas).

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Precisamos calcular limx to +infty e^xx^n+1 .
Primeiro, observamos que é um polinômio de grau . Para grandes valores de , o termo de maior grau domina o comportamento do polinômio, então podemos simplificar .
Então, o limite fica:
Sabemos que as funções exponenciais crescem mais rápido que qualquer função polinomial. De fato, foi dado que para qualquer .
Isso significa que, conforme tende ao infinito, cresce muito mais rapidamente que , fazendo com que o quociente tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular limx to +infty log(x)x .
Aqui, estamos comparando o crescimento do logaritmo com o crescimento linear de limx to +infty 1x1 = limx to +infty 1x = 0 . À medida que aumenta, cresce, mas muito mais devagar que mesmo.
Para calcular o limite:
Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada quando temos uma forma indeterminada . Derivamos o numerador e o denominador:
Derivada de é , e derivada de é .
Então, aplicando a regra:

Resposta

a) . Isso nos mostra que a função exponencial cresce muito mais rapidamente que qualquer polinômio .
b) . Isso indica que o logaritmo cresce muito mais devagar que a função linear .

Exercícios relacionados