Seja
um polinômio de grau arbitrário
.
(a) Calcule
.O que podemos concluir sobre o crescimento da exponencial?
(Vale o seguinte fato:
para qualquer
.)
(b) Por outro lado, calcule
. O que esse resultado diz sobre o crescimento do logaritmo?
(a) Calcule
(Vale o seguinte fato:
(b) Por outro lado, calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos um polinômio
de grau
. A gente precisa calcular dois limites:
a)
e entender o que isso nos diz sobre o crescimento da função exponencial.
b)
e o que isso revela sobre o crescimento do logaritmo.
Para resolver esses problemas, vamos usar conceitos de limites de funções e comparar o crescimento de diferentes tipos de funções (como exponenciais, polinomiais e logarítmicas).
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Precisamos calcular
.
Primeiro, observamos que
é um polinômio de grau
. Para grandes valores de
, o termo de maior grau domina o comportamento do polinômio, então podemos simplificar
.
Então, o limite fica:
Sabemos que as funções exponenciais crescem mais rápido que qualquer função polinomial. De fato, foi dado que
para qualquer
.
Isso significa que, conforme
tende ao infinito,
cresce muito mais rapidamente que
, fazendo com que o quociente
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular
.
Aqui, estamos comparando o crescimento do logaritmo com o crescimento linear de
. À medida que
aumenta,
cresce, mas muito mais devagar que
mesmo.
Para calcular o limite:
Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada quando temos uma forma indeterminada
. Derivamos o numerador e o denominador:
Derivada de
é
, e derivada de
é
.
Então, aplicando a regra:
Resposta
a)
. Isso nos mostra que a função exponencial
cresce muito mais rapidamente que qualquer polinômio
.
b)
. Isso indica que o logaritmo cresce muito mais devagar que a função linear
.