Considere a função
. Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis,
. A missão é descobrir qual é a taxa de variação dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do cálculo diferencial multivariável.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular, usamos o gradiente da função (
) e o vetor de direção (
).
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Passo 4
Calculando cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos o ponto
nas derivadas parciais para encontrar o gradiente no ponto:
- Calculando
:
- Substituindo na derivada parcial em relação a
:
- Substituindo na derivada parcial em relação a
:
- Substituindo na derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 6
Agora, sabemos que a derivada direcional
é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção
:
Vamos calcular esse produto escalar:
Passo 7
Realizando as multiplicações:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
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Regra da Cadeia e Equação Exata.
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
com
e
diferenciáveis. Determine um valor de
, que torna exata a equação
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Regra da Cadeia e Equação Exata.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função tal que
e
.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função
Regra da Cadeia e Equação Exata.
c) Sendo e
mostre que
. Substitua
obtida no item
) na equação exata,
e conclua que
constante estabelece, de maneira implícita, a relação entre
e
para que
seja solução da equação.
c) Sendo