Considere a função . Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis, . A missão é descobrir qual é a taxa de variação dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do cálculo diferencial multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular, usamos o gradiente da função ( ) e o vetor de direção ( ).

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos o ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente no ponto:
  1. Calculando :
  1. Substituindo na derivada parcial em relação a :
  1. Substituindo na derivada parcial em relação a :
  1. Substituindo na derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Agora, sabemos que a derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção :
Vamos calcular esse produto escalar:

Passo 7

Realizando as multiplicações:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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Regra da Cadeia e Equação Exata.
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
com e diferenciáveis. Determine um valor de , que torna exata a equação .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Regra da Cadeia e Equação Exata.
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Regra da Cadeia e Equação Exata.
c) Sendo e mostre que . Substitua obtida no item ) na equação exata, e conclua que constante estabelece, de maneira implícita, a relação entre e para que seja solução da equação.