Considere a função f(x, y, z) = raiz(y + x * z). Determine a taxa de variação de f em P = (3, 1, 1) na direção do vetor u = (2/7, 3/7, 6/7).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis, . A missão é descobrir qual é a taxa de variação dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do cálculo diferencial multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular, usamos o gradiente da função ( ) e o vetor de direção ( ).

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos o ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente no ponto:
  1. Calculando :
  1. Substituindo na derivada parcial em relação a :
  1. Substituindo na derivada parcial em relação a :
  1. Substituindo na derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Agora, sabemos que a derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção :
Vamos calcular esse produto escalar:

Passo 7

Realizando as multiplicações:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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