Regra da Cadeia e Equação Exata.
c) Sendo y equiv y(x) e F equiv F(x, y) mostre que d Fd x=partial Fpartial x+partial Fpartial y d yd x. Substitua F(x, y) obtida no item b ) na equação exata, M(x, y)+N(x, y) d yd x=0 e conclua que F(x, y)= constante estabelece, de maneira implícita, a relação entre x e y para que y seja solução da equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre Regra da Cadeia e Equação Exata. A gente vai precisar entender como derivar uma função que depende de outra função (Regra da Cadeia) e como trabalhar com equações diferenciais que são exatas. Nosso objetivo aqui é mostrar que:
d Fd x = partial Fpartial x + partial Fpartial y d yd x
E depois usar isso na equação exata para relacionar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções compostas. Se temos e depende de , então a derivada total de em relação a considera as mudanças em direta e indiretamente através de .

Passo 3

Vamos então calcular d Fd x = partial Fpartial x cdot d xd x + partial Fpartial y cdot d yd x . Pela Regra da Cadeia:
d Fd x = partial Fpartial x + partial Fpartial y d yd x
Sabemos que , então simplificando:
Pronto, mostramos a primeira parte!

Passo 4

Agora, vamos substituir M(x, y) + N(x, y) d yd x = 0 na equação exata. A equação exata tem a forma:
M = partial Fpartial x e N = partial Fpartial y
Se partial Fpartial x + partial Fpartial y d yd x = 0 é uma função potencial, então suas derivadas parciais satisfazem:
d Fd x = partial Fpartial x + partial Fpartial y d yd x
Substituindo na equação exata:
d Fd x = 0
Mas vimos no Passo 3 que:
Então podemos reescrever a equação exata como:

Passo 5

Se a derivada total de F(x, y) = constante em relação a é zero, isso significa que não está mudando com . Ou seja, é constante:
Isso estabelece uma relação implícita entre e . Em outras palavras, para ser uma solução da equação exata, e devem satisfazer que permanece constante.

Resposta

Mostramos que:
d Fd x = partial Fpartial x + partial Fpartial y d yd x
E concluímos que constante estabelece a relação implícita necessária entre e para que seja solução da equação exata.

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