Regra da Cadeia e Equação Exata.
c) Sendo
e
mostre que
. Substitua
obtida no item
) na equação exata,
e conclua que
constante estabelece, de maneira implícita, a relação entre
e
para que
seja solução da equação.
c) Sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre Regra da Cadeia e Equação Exata. A gente vai precisar entender como derivar uma função que depende de outra função (Regra da Cadeia) e como trabalhar com equações diferenciais que são exatas. Nosso objetivo aqui é mostrar que:
E depois usar isso na equação exata para relacionar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções compostas. Se temos
e
depende de
, então a derivada total de
em relação a
considera as mudanças em
direta e indiretamente através de
.
Passo 3
Vamos então calcular
. Pela Regra da Cadeia:
Sabemos que
, então simplificando:
Pronto, mostramos a primeira parte!
Passo 4
Agora, vamos substituir
na equação exata. A equação exata tem a forma:
Se
é uma função potencial, então suas derivadas parciais satisfazem:
Substituindo na equação exata:
Mas vimos no Passo 3 que:
Então podemos reescrever a equação exata como:
Passo 5
Se a derivada total de
em relação a
é zero, isso significa que
não está mudando com
. Ou seja,
é constante:
Isso estabelece uma relação implícita entre
e
. Em outras palavras, para
ser uma solução da equação exata,
e
devem satisfazer que
permanece constante.
Resposta
Mostramos que:
E concluímos que
constante estabelece a relação implícita necessária entre
e
para que
seja solução da equação exata.
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Regra da Cadeia e Equação Exata.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função tal que
e
.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função
Considere a função
. Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Encontre uma fómula para a função inversa.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Equação Exata:
c) Resolva a
c) Resolva a