Regra da Cadeia e Equação Exata.
c) Sendo e mostre que . Substitua obtida no item ) na equação exata, e conclua que constante estabelece, de maneira implícita, a relação entre e para que seja solução da equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre Regra da Cadeia e Equação Exata. A gente vai precisar entender como derivar uma função que depende de outra função (Regra da Cadeia) e como trabalhar com equações diferenciais que são exatas. Nosso objetivo aqui é mostrar que:
E depois usar isso na equação exata para relacionar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções compostas. Se temos e depende de , então a derivada total de em relação a considera as mudanças em direta e indiretamente através de .

Passo 3

Vamos então calcular . Pela Regra da Cadeia:
Sabemos que , então simplificando:
Pronto, mostramos a primeira parte!

Passo 4

Agora, vamos substituir na equação exata. A equação exata tem a forma:
Se é uma função potencial, então suas derivadas parciais satisfazem:
Substituindo na equação exata:
Mas vimos no Passo 3 que:
Então podemos reescrever a equação exata como:

Passo 5

Se a derivada total de em relação a é zero, isso significa que não está mudando com . Ou seja, é constante:
Isso estabelece uma relação implícita entre e . Em outras palavras, para ser uma solução da equação exata, e devem satisfazer que permanece constante.

Resposta

Mostramos que:
E concluímos que constante estabelece a relação implícita necessária entre e para que seja solução da equação exata.

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Regra da Cadeia e Equação Exata.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função tal que e .
Considere a função . Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Encontre uma fómula para a função inversa.
(a)
(b)
©
(d)
Equação Exata:
c) Resolva a