Regra da Cadeia e Equação Exata.
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
com e diferenciáveis. Determine um valor de , que torna exata a equação .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial e queremos encontrar uma função que faz com que essa equação seja exata. Isso significa que, ao aplicar a definição de equação exata, as derivadas parciais de em relação a e de em relação a têm que ser iguais. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação dada. A equação é:
Aqui, podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, usamos a regra básica de diferenciação e lembramos que depende apenas de , então sua derivada em relação a é .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Também aqui, aplicamos a regra de diferenciação para cada termo, considerando como constante em relação a .

Passo 5

Para que a equação seja exata, as duas derivadas parciais que calculamos precisam ser iguais. Então, igualamos e :

Passo 6

Simplificando essa equação, podemos subtrair de ambos os lados:
Agora, temos uma equação diferencial simples para .

Passo 7

Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração. No contexto de tornar a equação exata, geralmente podemos considerar sem perder a generalidade.

Resposta

A função que torna a equação exata é .

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Resolva o problema de valor inicial.
Considere a função . Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Regra da Cadeia e Equação Exata.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função tal que e .