Regra da Cadeia e Equação Exata.
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
com
e
diferenciáveis. Determine um valor de
, que torna exata a equação
.
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial e queremos encontrar uma função
que faz com que essa equação seja exata. Isso significa que, ao aplicar a definição de equação exata, as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
têm que ser iguais. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação dada. A equação é:
Aqui, podemos ver que:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra básica de diferenciação e lembramos que
depende apenas de
, então sua derivada em relação a
é
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Também aqui, aplicamos a regra de diferenciação para cada termo, considerando
como constante em relação a
.
Passo 5
Para que a equação seja exata, as duas derivadas parciais que calculamos precisam ser iguais. Então, igualamos
e
:
Passo 6
Simplificando essa equação, podemos subtrair
de ambos os lados:
Agora, temos uma equação diferencial simples para
.
Passo 7
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. No contexto de tornar a equação exata, geralmente podemos considerar
sem perder a generalidade.
Resposta
A função que torna a equação exata é
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Resolva o problema de valor inicial.
Considere a função
. Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Regra da Cadeia e Equação Exata.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função tal que
e
.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função