Regra da Cadeia e Equação Exata.
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
M(x, y)+N(x, y) d yd x=0 e partial M(x, y)partial y=partial N(x, y)partial x
com M(x, y) e N(x, y) diferenciáveis. Determine um valor de f(y), que torna exata a equação [2 x y-4 x y^2+f(y)]+[x^2-4 x^2 y+3 x y^2] d yd x=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial e queremos encontrar uma função que faz com que essa equação seja exata. Isso significa que, ao aplicar a definição de equação exata, as derivadas parciais de em relação a e de em relação a têm que ser iguais. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções [2xy - 4x y^2 + f(y)] + [x^2 - 4x^2 y + 3x y^2] dydx = 0 e M(x, y) = 2xy - 4x y^2 + f(y) na equação dada. A equação é:
N(x, y) = x^2 - 4x^2 y + 3x y^2
Aqui, podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Mpartial y = partialpartial y(2xy - 4x y^2 + f(y)) = 2x - 8x y + f'(y) em relação a :
Aqui, usamos a regra básica de diferenciação e lembramos que depende apenas de , então sua derivada em relação a é .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de partial Npartial x = partialpartial x(x^2 - 4x^2 y + 3x y^2) = 2x - 8x y + 3y^2 em relação a :
Também aqui, aplicamos a regra de diferenciação para cada termo, considerando como constante em relação a .

Passo 5

Para que a equação seja exata, as duas derivadas parciais que calculamos precisam ser iguais. Então, igualamos 2x - 8x y + f'(y) = 2x - 8x y + 3y^2 e :

Passo 6

Simplificando essa equação, podemos subtrair f'(y) = 3y^2 de ambos os lados:
Agora, temos uma equação diferencial simples para .

Passo 7

Para encontrar f(y) = integral 3y^2 , dy = y^3 + C , vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração. No contexto de tornar a equação exata, geralmente podemos considerar sem perder a generalidade.

Resposta

A função que torna a equação exata é .

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