Determine as derivadas parciais de primeira ordem. F(x, y) = (5y^3 + 2(3x + 1)^5y)^8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos precisar usar essas ferramentas para diferenciar a função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia. Pense na função como uma função composta: temos uma função externa , onde .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada da função em relação a é:
Agora, precisamos encontrar .

Passo 4

Vamos derivar em relação a . O termo é constante em relação a , então sua derivada é zero. Para o segundo termo, aplicamos a regra da cadeia novamente:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial de :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia:

Passo 7

Vamos derivar em relação a :

Passo 8

Substituindo na expressão da derivada parcial de :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
e

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