Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos precisar usar essas ferramentas para diferenciar a função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Pense na função como uma função composta: temos uma função externa
, onde
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada da função
em relação a
é:
Agora, precisamos encontrar
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
. O termo
é constante em relação a
, então sua derivada é zero. Para o segundo termo, aplicamos a regra da cadeia novamente:
Passo 5
Substituindo
de volta na expressão da derivada parcial de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Passo 7
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 8
Substituindo
na expressão da derivada parcial de
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
e
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial.
A temperatura em um ponto
é
, medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após
segundos é dada por
e
, onde
e
são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz
e
. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?
Regra da Cadeia e Equação Exata.
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
com
e
diferenciáveis. Determine um valor de
, que torna exata a equação
.
Considere a função
. Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.