Regra da Cadeia e Equação Exata.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Equações Exatas e o Teorema de Clairaut. O objetivo é mostrar que, se uma equação é exata, existe uma função tal que suas derivadas parciais em relação a e sejam iguais às funções e da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma é dita exata se satisfaz a condição:
Isso significa que a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema de Clairaut. Esse teorema afirma que se uma função tem derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então:
Isso quer dizer que a ordem das derivadas parciais não altera o resultado.

Passo 4

Vamos conectar esses conceitos. Suponha que existe uma função tal que:
Se tem derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então pelo Teorema de Clairaut:
Isso implica que:

Passo 5

Observe que essa condição final é exatamente a condição para que a equação seja exata. Portanto, mostramos que se a equação é exata ( ), então existe uma função cuja derivada parcial em relação a é e em relação a é .

Resposta

Assim, utilizando o Teorema de Clairaut, demonstramos que se uma equação é exata, então existe uma função tal que e .

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Considere a função . Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Regra da Cadeia e Equação Exata.
a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
com e diferenciáveis. Determine um valor de , que torna exata a equação .
Regra da Cadeia e Equação Exata.
c) Sendo e mostre que . Substitua obtida no item ) na equação exata, e conclua que constante estabelece, de maneira implícita, a relação entre e para que seja solução da equação.
Encontre uma fómula para a função inversa.
(a)
(b)
©
(d)