Regra da Cadeia e Equação Exata.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função
tal que
e
.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Equações Exatas e o Teorema de Clairaut. O objetivo é mostrar que, se uma equação é exata, existe uma função
tal que suas derivadas parciais em relação a
e
sejam iguais às funções
e
da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma
é dita exata se satisfaz a condição:
Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Clairaut. Esse teorema afirma que se uma função
tem derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então:
Isso quer dizer que a ordem das derivadas parciais não altera o resultado.
Passo 4
Vamos conectar esses conceitos. Suponha que existe uma função
tal que:
Se
tem derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então pelo Teorema de Clairaut:
Isso implica que:
Passo 5
Observe que essa condição final é exatamente a condição para que a equação seja exata. Portanto, mostramos que se a equação é exata (
), então existe uma função
cuja derivada parcial em relação a
é
e em relação a
é
.
Resposta
Assim, utilizando o Teorema de Clairaut, demonstramos que se uma equação é exata, então existe uma função
tal que
e
.