Regra da Cadeia e Equação Exata.
b) Utilize o teorema de Clairaut para mostrar que se uma equação é exata então existe uma função F(x, y) tal que partial F(x, y)partial x=M(x, y) e partial F(x, y)partial y=N(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Equações Exatas e o Teorema de Clairaut. O objetivo é mostrar que, se uma equação é exata, existe uma função tal que suas derivadas parciais em relação a e sejam iguais às funções e da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma partial Mpartial y = partial Npartial x é dita exata se satisfaz a condição:
Isso significa que a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema de Clairaut. Esse teorema afirma que se uma função partial^2 Fpartial y partial x = partial^2 Fpartial x partial y tem derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então:
Isso quer dizer que a ordem das derivadas parciais não altera o resultado.

Passo 4

Vamos conectar esses conceitos. Suponha que existe uma função partial Fpartial x = M(x, y) e partial Fpartial y = N(x, y) tal que:
partial^2 Fpartial y partial x = partial^2 Fpartial x partial y
Se partial Mpartial y = partial Npartial x tem derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então pelo Teorema de Clairaut:
Isso implica que:

Passo 5

Observe que essa condição final é exatamente a condição para que a equação seja exata. Portanto, mostramos que se a equação é exata ( ), então existe uma função cuja derivada parcial em relação a é e em relação a é .

Resposta

Assim, utilizando o Teorema de Clairaut, demonstramos que se uma equação é exata, então existe uma função tal que e .

Exercícios relacionados