Seja E o sólido dado por
E = {(x, y, z) em R^3 : raiz(3 x^2 + 3 y^2) <= z <= raiz(4 - x^2 - y^2)}
Calcule o volume de E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que é definido pelas desigualdades:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais triplas. Para isso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como parece ser o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
Então, a desigualdade inferior fica:
E a desigualdade superior:
Agora, temos variando de até .

Passo 3

Vamos descobrir os limites de . Para isso, igualamos as duas expressões de para encontrar onde as superfícies se intersectam:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, varia de 0 a 1. O ângulo vai de 0 a , já que estamos cobrindo toda a circunferência.

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume :
Aqui, o termo é o jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver as integrais uma a uma:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Vamos separar em duas integrais:
A primeira integral pode ser resolvida por substituição, e a segunda é uma integral básica.
  1. Integral em :
Após resolver as integrais, somamos tudo para obter o volume final.

Resposta

O volume de é unidades cúbicas.

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