Seja
o sólido dado por
Calcule o volume de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido
que é definido pelas desigualdades:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais triplas. Para isso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como parece ser o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
Então, a desigualdade inferior fica:
E a desigualdade superior:
Agora, temos
variando de
até
.
Passo 3
Vamos descobrir os limites de
. Para isso, igualamos as duas expressões de
para encontrar onde as superfícies se intersectam:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então,
varia de 0 a 1. O ângulo
vai de 0 a
, já que estamos cobrindo toda a circunferência.
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume
:
Aqui, o termo
é o jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver as integrais uma a uma:
- Integral em
:
- Integral em
:
Vamos separar em duas integrais:
A primeira integral pode ser resolvida por substituição, e a segunda é uma integral básica.
- Integral em
:
Após resolver as integrais, somamos tudo para obter o volume final.
Resposta
O volume de
é
unidades cúbicas.