Use séries para avaliar os limites
lim x 0 ln (1+x^3)x cdot sen(x^2).

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular o limite quando limx 0 ln (1+x^3)x cdot sen(x^2) tende a da expressão
Vamos usar séries de Taylor para resolver esse limite. Para isso, vamos precisar conhecer as expansões em série das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador ln(1 + u) = u - u^22 + u^33 - dots para |u| < 1 usando a série de Taylor. Sabemos que:
ln(1 + x^3) = x^3 - x^62 + x^93 - dots
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos expandir o denominador . Primeiro, lembramos que:
Substituindo sen(u) = u - u^36 + u^5120 - dots para todo u :
Multiplicando por sen(x^2) = x^2 - x^66 + x^10120 - dots :

Passo 4

Agora temos:
Podemos fatorar ln(1 + x^3)x cdot sen(x^2) = x^3 - x^62 + x^93 - dotsx^3 - x^76 + x^11120 - dots no numerador e no denominador:
= x^3 (1 - x^32 + x^63 - dots )x^3 (1 - x^46 + x^8120 - dots ) = 1 - x^32 + x^63 - dots1 - x^46 + x^8120 - dots

Passo 5

Para calcular o limite quando 1 - x^321 - x^46 approx 1 - x^32 + x^46 , podemos considerar apenas os termos de menor ordem, já que os demais se tornam insignificantes. Assim, aproximamos:
À medida que , os termos com potências de tendem a zero.

Passo 6

Portanto, o limite é:
Como os termos de ordem mais baixa no numerador e no denominador são iguais, o limite vale limx to 0 ln(1 + x^3)x cdot sen(x^2) = 00 .

Resposta

O limite é .

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