Use séries para avaliar os limites
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos calcular o limite quando
tende a
da expressão
Vamos usar séries de Taylor para resolver esse limite. Para isso, vamos precisar conhecer as expansões em série das funções
e .
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o numerador
usando a série de Taylor. Sabemos que:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos expandir o denominador . Primeiro, lembramos que:
Substituindo
:
Multiplicando por
:
Passo 4
Agora temos:
Podemos fatorar
no numerador e no denominador:
Passo 5
Para calcular o limite quando
, podemos considerar apenas os termos de menor ordem, já que os demais se tornam insignificantes. Assim, aproximamos:
À medida que
, os termos com potências de
tendem a zero.
Passo 6
Portanto, o limite é:
Como os termos de ordem mais baixa no numerador e no denominador são iguais, o limite vale
.
Resposta
O limite é
.