Considere a função f(x) = Sen x + ln(2x) e o intervalo [2, 3]. Calcule a integral da função nesse intervalo utilize o método de 1/3 Simpson com n = 2 e quatro casas decimais.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral da função $ f(x) = \sin(x) + \ln(2x) $ no intervalo de $ x = 2 $ até $ x = 3 $. Vamos usar o método de Simpson 1/3 com $ n = 2 $ subdivisões e obter a resposta com quatro casas decimais. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra de Simpson 1/3, que é uma técnica de aproximação para integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde vamos calcular a função. Com $ n = 2 $ subdivisões no intervalo [2, 3], a largura de cada subdivisão é:
n = 2
Então, os pontos são:
  • $ x_0 = 2 $
  • $ x_1 = 2 + h = 2,5 $
  • $ x_2 = 2 + 2h = 3 $

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função $ f(x) $ em cada um desses pontos.
Para $ x_0 = 2 $:
f(x)
Para $ x_1 = 2,5 $:
x0 = 2
Para $ x_2 = 3 $:
f(2) = sin(2) + ln(4) approx 0,9093 + 1,3863 = 2,2956

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula da regra de Simpson 1/3 para $ n = 2 $:
n = 2
Substituindo os valores:
integrala^b f(x)dx approx h3 [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

Passo 5

Vamos calcular dentro do colchete primeiro:
2,2956 + 4 times 2,2079 + 1,9329 = 2,2956 + 8,8316 + 1,9329 = 13,0601
Agora, multiplicamos pelo $ \frac{h}{3} $:
h3

Resposta

A integral de $ f(x) = \sin(x) + \ln(2x) $ no intervalo [2, 3] usando o método de Simpson 1/3 com $ n = 2 $ é aproximadamente 2,1767.

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