Determine o Wronskiano W da equação diferencial linear homogênea y" — 9y = 0, considerando o intervalo I = (-∞⁰, ∞º), verifique se as soluções da equação são linearmente dependentes ou independentes.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:
y'' - 9y = 0
O objetivo é encontrar o Wronskiano $ W $ dessa equação no intervalo $ I = (-\infty, \infty) $ e verificar se as soluções são linearmente dependentes ou independentes. Para isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação e calcular o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as soluções gerais da equação diferencial $ y’’ - 9y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica:
y'' - 9y = 0
Resolvendo:
r^2 - 9 = 0
r^2 = 9
Então, as soluções gerais são:
r = pm 3
y1(x) = e^3x

Passo 3

Agora, vamos calcular o Wronskiano $ W $ das soluções $ y_1 $ e $ y_2 $. O Wronskiano é dado por:
W
Primeiro, calculamos as derivadas:
y1
y2

Passo 4

Substituindo na fórmula do Wronskiano:
W = e^3x & e^-3x 3e^3x & -3e^-3x
Calculando o determinante:
W = e^3x cdot (-3e^-3x) - e^-3x cdot 3e^3x
W = -3e^3xe^-3x - 3e^-3xe^3x
W = -3e^0 - 3e^0
W = -3 - 3
W = -6

Resposta

O Wronskiano $ W = -6 $ é diferente de zero no intervalo $ I = (-\infty, \infty) $. Portanto, as soluções da equação diferencial são linearmente independentes.

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