Determine o Wronskiano W da equação diferencial linear homogênea y" — 9y = 0, considerando o intervalo I = (-∞⁰, ∞º), verifique se as soluções da equação são linearmente dependentes ou independentes.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:
O objetivo é encontrar o Wronskiano $ W $ dessa equação no intervalo $ I = (-\infty, \infty) $ e verificar se as soluções são linearmente dependentes ou independentes. Para isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação e calcular o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as soluções gerais da equação diferencial $ y’’ - 9y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica:
Resolvendo:
Então, as soluções gerais são:
Passo 3
Agora, vamos calcular o Wronskiano $ W $ das soluções $ y_1 $ e $ y_2 $. O Wronskiano é dado por:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
Calculando o determinante:
Resposta
O Wronskiano $ W = -6 $ é diferente de zero no intervalo $ I = (-\infty, \infty) $. Portanto, as soluções da equação diferencial são linearmente independentes.