Considere a função
b) A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver a questão de verificar se a função
é contínua no ponto
. A função está definida por:
Para determinar a continuidade no ponto
, precisamos analisar o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se:
No nosso caso, queremos verificar se:
Sabemos que
, então precisamos calcular o limite à esquerda.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para simplificar, podemos fazer uma substituição. Vamos definir
. Então, quando
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Passo 4
Com a substituição
, o limite se transforma em:
Esse é um limite conhecido na matemática. Sabemos que:
Passo 5
Portanto, o limite da função
quando
se aproxima de
é
. Mas, lembrando,
.
Resposta
Como o limite da função quando
é
e
, concluímos que a função
não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
,
é o disco com centro na origem e raio
Mostre que
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
a)
a)