Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral. integral duplaD raizx^3+y^3 d A, D=[0,1] times[0,1]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para estimar o valor da integral dupla integral duplaD raizx^3+y^3 , dA, onde o domínio D é o quadrado [0,1] times [0,1]. Para isso, vamos utilizar a Propriedade 11, que nos ajuda a encontrar limites para a integral usando desigualdades. Precisaremos entender como aplicar essa propriedade para funções dentro de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: raizx^3 + y^3. Para estimar a integral, precisamos encontrar limites inferiores e superiores para essa função dentro do domínio D.

Passo 3

Observamos que, para x e y em [0,1], temos que x^3 <= x e y^3 <= y, já que elevar números entre 0 e 1 a potências maiores diminui seu valor. Portanto:
x^3 + y^3 <= x + y
Tomando a raiz quadrada em ambos os lados da desigualdade, como a raiz é uma função crescente, mantemos a desigualdade:
raizx^3 + y^3 <= raizx + y

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da desigualdade sobre o domínio D:
integral duplaD raizx^3 + y^3 , dA <= integral duplaD raizx + y , dA
Para encontrar uma estimativa superior, precisamos calcular a integral da função raizx + y sobre D.

Passo 5

Vamos calcular a integral superior:
integral duplaD raizx + y , dA = integral0^1 integral0^1 raizx + y , dx , dy
Fazemos a integração em relação a x primeiro:
integral0^1 raizx + y , dx = [ 23 (x + y)^3/2 ]0^1 = 23 ( (1 + y)^3/2 - y^3/2 )
Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 23 ( (1 + y)^3/2 - y^3/2 ) dy
Essa integral pode ser resolvida utilizando substituições ou tabelas de integrais, resultando em um valor numérico que representa a estimativa superior.

Resposta

Usando a Propriedade 11, estimamos que o valor da integral integral duplaD raizx^3+y^3 , dA está limitado superiormente por 23 ( (2)^3/2 - 0 ) = 23 times 2raiz2 = 4raiz23. Portanto, a estimativa final da integral é aproximadamente 4raiz23.

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Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral. integral duplaD e^x^2+y^2 d A, D é o disco com centro na origem e raio 12
Esboce a região de integração e faça a mudança da orden de integração. integral0^1 integraly^2^2-y f(x, y) d x d y
Considere a função
f(x, y)=cc sen(x^2+y^2)(x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
b) A função f é contínua em (0,0) ? Justifique sua resposta.
Mostre que lim (x, y) (0,0) -3 x^2 y^2+x^3x^2+y^2=0.