Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para estimar o valor da integral dupla
, onde o domínio
é o quadrado
. Para isso, vamos utilizar a Propriedade 11, que nos ajuda a encontrar limites para a integral usando desigualdades. Precisaremos entender como aplicar essa propriedade para funções dentro de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Para estimar a integral, precisamos encontrar limites inferiores e superiores para essa função dentro do domínio
.
Passo 3
Observamos que, para
e
em
, temos que
e
, já que elevar números entre 0 e 1 a potências maiores diminui seu valor. Portanto:
Tomando a raiz quadrada em ambos os lados da desigualdade, como a raiz é uma função crescente, mantemos a desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da desigualdade sobre o domínio
:
Para encontrar uma estimativa superior, precisamos calcular a integral da função
sobre
.
Passo 5
Vamos calcular a integral superior:
Fazemos a integração em relação a
primeiro:
Agora, integramos em relação a
:
Essa integral pode ser resolvida utilizando substituições ou tabelas de integrais, resultando em um valor numérico que representa a estimativa superior.
Resposta
Usando a Propriedade 11, estimamos que o valor da integral
está limitado superiormente por
. Portanto, a estimativa final da integral é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
,
é o disco com centro na origem e raio
Esboce a região de integração e faça a mudança da orden de integração.
Considere a função
b) A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Mostre que
.