Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
,
é o disco com centro na origem e raio
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui:
. O domínio
é um disco centrado na origem com raio
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre estimativas de integrais usando propriedades de funções contínuas. Para isso, vamos precisar achar os valores mínimo e máximo da função
dentro desse disco e calcular a área do disco.
Passo 2
A Propriedade 11 que vamos usar nos ajuda a estimar o valor de uma integral dupla quando a função é contínua no domínio de integração. Essa propriedade diz que:
Aqui,
é o menor valor que a função
assume dentro de
e
é o maior valor. Basicamente, a integral está entre o menor possível multiplicado pela área e o maior possível multiplicado pela área.
Passo 3
Vamos encontrar
e
para a função
dentro do disco
.
Dentro de
, sabemos que
.
Então,
varia entre:
e
Portanto,
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área do disco
. A área de um disco é dada por:
Onde
, então:
Passo 5
Com os valores de
,
e
, vamos aplicar a Propriedade 11 para estimar a integral:
Ou seja:
Resposta
A integral
está entre
e
. Ou seja,
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e faça a mudança da orden de integração.
Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
Considere a função
b) A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.