Mostre que
.
Passo 1
Fala! Então, temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função é
. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde
e
. Isso facilita o cálculo do limite quando
.
Passo 3
Substituindo
e
na função, temos:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Passo 5
Agora, a expressão fica:
Passo 6
Vamos analisar cada termo separadamente quando
:
-
: Como tende a 0, esse termo tende a 0. -
: Como tende a 0, esse termo também tende a 0.
Passo 7
Somando os dois termos que tendem a 0, concluímos que toda a expressão tende a 0 quando
.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a função
b) A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
a)
a)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
e)
e)