Mostre que lim (x, y) (0,0) -3 x^2 y^2+x^3x^2+y^2=0.

Passo 1

Fala! Então, temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . A função é . Vamos usar conceitos de cálculo de limites e coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares , onde e . Isso facilita o cálculo do limite quando .

Passo 3

Substituindo -3 (r cos theta)^2 (r sin theta)^2 + (r cos theta)^3(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e na função, temos:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
-3 r^2 cos^2 theta cdot r^2 sin^2 theta + r^3 cos^3 theta = -3 r^4 cos^2 theta sin^2 theta + r^3 cos^3 theta
Denominador:
r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2 cdot 1 = r^2

Passo 5

Agora, a expressão fica:
-3 r^4 cos^2 theta sin^2 theta + r^3 cos^3 thetar^2 = -3 r^2 cos^2 theta sin^2 theta + r cos^3 theta

Passo 6

Vamos analisar cada termo separadamente quando :
  1. : Como tende a 0, esse termo tende a 0.
  2. : Como tende a 0, esse termo também tende a 0.

Passo 7

Somando os dois termos que tendem a 0, concluímos que toda a expressão tende a 0 quando .

Resposta

0

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