Considere a função Si: R R, definida por
Si(x)=integral0^x f(t) d t
onde
f(x)= sen xx, & se x neq 0 1, & se x=0
Determine os pontos críticos de Si(x)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função , que é definida como a integral de uma função de 0 até . Aqui, a matéria em jogo é o cálculo diferencial, mais especificamente, o estudo de derivadas e pontos críticos. Vamos precisar entender como derivar funções definidas por integrais e identificar onde a derivada é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Ou seja, queremos encontrar tais que ou onde não está definida.

Passo 3

Agora, vamos derivar Si'(x) = f(x) . A função é uma integral definida de de 0 até . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral definida em relação ao limite superior é simplesmente a função integranda avaliada nesse limite. Ou seja:

Passo 4

Então, para encontrar os pontos críticos, precisamos achar os valores de f(x) = sin xx, & se x neq 0 1, & se x = 0 onde ou onde n��o está definida. Vamos analisar a função :

Passo 5

Primeiro, vamos ver onde x = kpi, k in Z . Para , temos . Como , a equação é o que precisamos resolver. Sabemos que quando é múltiplo de , ou seja:

Passo 6

Agora, vamos verificar o ponto . A definição de para é 1, então , que não é zero. Portanto, não é um ponto crítico.

Passo 7

Por fim, concluímos que os pontos críticos de x = kpi, k in Z, , k neq 0 são todos os múltiplos de diferentes de zero. Ou seja:

Resposta

Os pontos críticos de x = kpi, k in Z, , k neq 0 são todos os números da forma , onde é um número inteiro diferente de zero, ou seja:

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