Considere a função
, definida por
onde
Determine os pontos críticos de
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
, que é definida como a integral de uma função
de 0 até
. Aqui, a matéria em jogo é o cálculo diferencial, mais especificamente, o estudo de derivadas e pontos críticos. Vamos precisar entender como derivar funções definidas por integrais e identificar onde a derivada é zero ou não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Ou seja, queremos encontrar
tais que
ou onde
não está definida.
Passo 3
Agora, vamos derivar
. A função
é uma integral definida de
de 0 até
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral definida em relação ao limite superior é simplesmente a função integranda avaliada nesse limite. Ou seja:
Passo 4
Então, para encontrar os pontos críticos, precisamos achar os valores de
onde
ou onde
n��o está definida. Vamos analisar a função
:
Passo 5
Primeiro, vamos ver onde
. Para
, temos
. Como
, a equação
é o que precisamos resolver. Sabemos que
quando
é múltiplo de
, ou seja:
Passo 6
Agora, vamos verificar o ponto
. A definição de
para
é 1, então
, que não é zero. Portanto,
não é um ponto crítico.
Passo 7
Por fim, concluímos que os pontos críticos de
são todos os múltiplos de
diferentes de zero. Ou seja:
Resposta
Os pontos críticos de
são todos os números da forma
, onde
é um número inteiro diferente de zero, ou seja:
Exercícios relacionados
Considere a função
, definida por
onde
Mostre que
é uma função contínua.
Considere a função
, definida por
onde
Calcule
e
Considere a função
, definida por
onde
Determine os pontos de inflexão de
.
Calcule a primitiva das seguintes funções.