Considere a função Si: R R, definida por
Si(x)=integral0^x f(t) d t
onde
f(x)= sen xx, & se x neq 0 1, & se x=0
Determine os pontos de inflexão de Si(x).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema pede para encontrar os pontos de inflexão da função , que é definida pela integral de de 0 até . A matéria envolvida aqui é Cálculo, especialmente os conceitos de derivadas e concavidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções definidas por integrais e identificar onde a concavidade da função muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos uma função definida por uma integral, como Si'(x) = f(x) , a primeira derivada dessa função, , é simplesmente . Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos da segunda derivada de Si''(x) = f'(x) , ou seja, . Isso significa que vamos derivar :

Passo 4

Vamos analisar a função f(x) = sin xx, & se x neq 0 1, & se x = 0 :
Para encontrar , vamos derivar cada caso separadamente.

Passo 5

Para f(x) = sin xx :
f'(x) = x cos x - sin xx^2
Vamos usar a regra do quociente para derivar :

Passo 6

Para limx to 0 f'(x) = limx to 0 x cos x - sin xx^2 :
A função está definida como limx to 0 cos x - x sin x - cos x2x = limx to 0 -x sin x2x = limx to 0 -sin x2 = 0 . Precisamos verificar a derivada nesse ponto. Sabemos que:
Usando a regra de L’Hôpital, diferenciamos o numerador e o denominador:
Portanto, .

Passo 7

Agora, temos a segunda derivada f'(x) = x cos x - sin xx^2, & se x neq 0 0, & se x = 0 para todos os . Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos identificar onde muda de sinal, ou seja, onde ou está indefinida.

Passo 8

Vamos resolver x cos x - sin xx^2 = 0 implies x cos x - sin x = 0 implies x cos x = sin x implies tan x = x para :
A equação não tem soluções analíticas exatas, então precisamos analisar graficamente ou numericamente. Observando o gráfico de e , vemos que há apenas uma solução próxima a , que já consideramos no ponto .

Passo 9

No ponto f'(0.1) = 0.1 cos 0.1 - sin 0.1(0.1)^2 approx 0.1 times 0.995 - 0.09980.01 approx 0.0995 - 0.09980.01 approx -0.03 , já calculamos que f'(-0.1) = -0.1 cos(-0.1) - sin(-0.1)(-0.1)^2 = -0.1 cos 0.1 + sin 0.10.01 approx -0.0995 + 0.09980.01 approx 0.03 . Agora, vamos verificar a mudança de sinal de em torno de :
  • Para ligeiramente positivo, digamos :
  • Para ligeiramente negativo, digamos :
Observamos que muda de positivo para negativo passando por 0.

Passo 10

Como muda de positivo para negativo em , isso indica uma mudança na concavidade de . Portanto, é um ponto de inflexão.

Resposta

O ponto de inflexão de ocorre em .

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