Considere a função
, definida por
onde
Determine os pontos de inflexão de
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema pede para encontrar os pontos de inflexão da função
, que é definida pela integral de
de 0 até
. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especialmente os conceitos de derivadas e concavidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções definidas por integrais e identificar onde a concavidade da função muda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se temos uma função definida por uma integral, como
, a primeira derivada dessa função,
, é simplesmente
. Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos da segunda derivada de
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar
:
Passo 4
Vamos analisar a função
:
Para encontrar
, vamos derivar cada caso separadamente.
Passo 5
Para
:
Vamos usar a regra do quociente para derivar
:
Passo 6
Para
:
A função está definida como
. Precisamos verificar a derivada nesse ponto. Sabemos que:
Usando a regra de L’Hôpital, diferenciamos o numerador e o denominador:
Portanto,
.
Passo 7
Agora, temos a segunda derivada
para todos os
. Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos identificar onde
muda de sinal, ou seja, onde
ou está indefinida.
Passo 8
Vamos resolver
para
:
A equação
não tem soluções analíticas exatas, então precisamos analisar graficamente ou numericamente. Observando o gráfico de
e
, vemos que há apenas uma solução próxima a
, que já consideramos no ponto
.
Passo 9
No ponto
, já calculamos que
. Agora, vamos verificar a mudança de sinal de
em torno de
:
- Para
ligeiramente positivo, digamos :
- Para
ligeiramente negativo, digamos :
Observamos que
muda de positivo para negativo passando por 0.
Passo 10
Como
muda de positivo para negativo em
, isso indica uma mudança na concavidade de
. Portanto,
é um ponto de inflexão.
Resposta
O ponto de inflexão de
ocorre em
.
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Considere a função
, definida por
onde
Determine os pontos críticos de
Considere a função
, definida por
onde
Mostre que
é uma função contínua.
Calcule a primitiva das seguintes funções.
Calcule a primitiva das seguintes funções.