Considere a função , definida por
onde
Determine os pontos de inflexão de .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema pede para encontrar os pontos de inflexão da função , que é definida pela integral de de 0 até . A matéria envolvida aqui é Cálculo, especialmente os conceitos de derivadas e concavidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções definidas por integrais e identificar onde a concavidade da função muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos uma função definida por uma integral, como , a primeira derivada dessa função, , é simplesmente . Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos da segunda derivada de , ou seja, . Isso significa que vamos derivar :

Passo 4

Vamos analisar a função :
Para encontrar , vamos derivar cada caso separadamente.

Passo 5

Para :
Vamos usar a regra do quociente para derivar :

Passo 6

Para :
A função está definida como . Precisamos verificar a derivada nesse ponto. Sabemos que:
Usando a regra de L’Hôpital, diferenciamos o numerador e o denominador:
Portanto, .

Passo 7

Agora, temos a segunda derivada para todos os . Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos identificar onde muda de sinal, ou seja, onde ou está indefinida.

Passo 8

Vamos resolver para :
A equação não tem soluções analíticas exatas, então precisamos analisar graficamente ou numericamente. Observando o gráfico de e , vemos que há apenas uma solução próxima a , que já consideramos no ponto .

Passo 9

No ponto , já calculamos que . Agora, vamos verificar a mudança de sinal de em torno de :
  • Para ligeiramente positivo, digamos :
  • Para ligeiramente negativo, digamos :
Observamos que muda de positivo para negativo passando por 0.

Passo 10

Como muda de positivo para negativo em , isso indica uma mudança na concavidade de . Portanto, é um ponto de inflexão.

Resposta

O ponto de inflexão de ocorre em .

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