Considere a função t: Z8 times Z10 Z8 times Z10 tal que t(barx, bary)=(x+3, 6 y+2). Determine a função inversa de t, se existir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa função tem uma inversa e, se tiver, qual é essa função inversa. Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas em estruturas algébricas como os grupos .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função inversa. Uma função t^-1(t(x, y)) = (x, y) é inversa de t(t^-1(x, y)) = (x, y) se, ao aplicar uma após a outra, a gente volta ao ponto de partida. Matematicamente, isso quer dizer que:
e
Então, para encontrar , precisamos descobrir uma função que “desfaça” a ação de .

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente da função x - 3 = x - 3 em Z8 . Ela é dada por em . Para inverter isso, queremos encontrar uma operação que, ao somar 3, nos dê de volta o . Isso é equivalente a subtrair 3.
Então, a inversa da primeira componente será:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente, que é 6k equiv 1 (mod 10) em . Aqui, precisamos achar o inverso de multiplicar por 6 e depois somar 2. Primeiro, vamos resolver a parte de multiplicação.
Precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 6 em . Isso significa encontrar um número tal que:
Testando valores, vemos que , não funciona. Na verdade, 6 e 10 têm um divisor comum maior que 1 (que é 2), então 6 não possui inverso multiplicativo em . Isso implica que não conseguimos desfazer a multiplicação por 6 diretamente.

Passo 5

Como 6 não tem inverso multiplicativo em , isso significa que a função não é invertível em . Ou seja, não existe uma função inversa para nesse contexto.

Resposta

Não existe uma função inversa para em .

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