Verifique que é um subespaço de . Em cada caso, suponha que tenha as operações usuais. E é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n com determinantes iguais a 1.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem com determinantes iguais a 1, e estamos considerando as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que seja considerado um subespaço de .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
Não-vazio: O conjunto deve conter pelo menos o vetor zero de .
Fechado na adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado na multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificando se não é vazio:
Para ser um subespaço, ele precisa conter o vetor zero. No contexto de matrizes, o vetor zero é a matriz nula, onde todos os elementos são zero. Vamos ver se a matriz nula está em :
Como o determinante da matriz nula é 0, que não é igual a 1, a matriz nula não pertence a . Portanto, não contém o vetor zero.
Passo 4
2. Fechamento na adição:
Mesmo que a primeira condição já não seja atendida, vamos verificar a segunda para entender melhor. Suponha que temos duas matrizes e em , ou seja, e . Vamos calcular o determinante de :
Na verdade, o determinante da soma de duas matrizes não é simplesmente a soma dos determinantes. Em geral, não é igual a 2, e na maioria das vezes nem mesmo é igual a 1. Portanto, geralmente não pertence a .
Passo 5
3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos considerar uma matriz em () e um escalar . Calculamos o determinante de :
Para estar em , precisaríamos que para qualquer escalar . Mas isso só acontece se ou se , o que não faz sentido para matrizes. Portanto, geralmente não pertence a .
Resposta
Concluímos que não é um subespaço de porque não satisfaz as condições necessárias, como conter o vetor zero, e não é fechado na adição e na multiplicação por escalar.