Verifique que
é um subespaço de
. Em cada caso, suponha que
tenha as operações usuais. E é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n com determinantes iguais a 1.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Aqui,
é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem
com determinantes iguais a 1, e estamos considerando as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que
seja considerado um subespaço de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
- Não-vazio: O conjunto
deve conter pelo menos o vetor zero de . - Fechado na adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado na multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se
não é vazio:
Para
ser um subespaço, ele precisa conter o vetor zero. No contexto de matrizes, o vetor zero é a matriz nula, onde todos os elementos são zero. Vamos ver se a matriz nula está em
:
Como o determinante da matriz nula é 0, que não é igual a 1, a matriz nula não pertence a
. Portanto,
não contém o vetor zero.
Passo 4
2. Fechamento na adição:
Mesmo que a primeira condição já não seja atendida, vamos verificar a segunda para entender melhor. Suponha que temos duas matrizes
e
em
, ou seja,
e
. Vamos calcular o determinante de
:
Na verdade, o determinante da soma de duas matrizes não é simplesmente a soma dos determinantes. Em geral,
não é igual a 2, e na maioria das vezes nem mesmo é igual a 1. Portanto,
geralmente não pertence a
.
Passo 5
3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos considerar uma matriz
em
(
) e um escalar
. Calculamos o determinante de
:
Para
estar em
, precisaríamos que
para qualquer escalar
. Mas isso só acontece se
ou se
, o que não faz sentido para matrizes. Portanto,
geralmente não pertence a
.
Resposta
Concluímos que
não é um subespaço de
porque não satisfaz as condições necessárias, como conter o vetor zero, e não é fechado na adição e na multiplicação por escalar.