Verifique que W é um subespaço de V. Em cada caso, suponha que V tenha as operações usuais. E é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n com determinantes iguais a 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem com determinantes iguais a 1, e estamos considerando as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que seja considerado um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Não-vazio: O conjunto deve conter pelo menos o vetor zero de .
  2. Fechado na adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se det(0) = 0 não é vazio:
Para ser um subespaço, ele precisa conter o vetor zero. No contexto de matrizes, o vetor zero é a matriz nula, onde todos os elementos são zero. Vamos ver se a matriz nula está em :
Como o determinante da matriz nula é 0, que não é igual a 1, a matriz nula não pertence a . Portanto, não contém o vetor zero.

Passo 4

2. Fechamento na adição:
Mesmo que a primeira condição já não seja atendida, vamos verificar a segunda para entender melhor. Suponha que temos duas matrizes det(A + B) neq det(A) + det(B) = 1 + 1 = 2 e em , ou seja, e . Vamos calcular o determinante de :
Na verdade, o determinante da soma de duas matrizes não é simplesmente a soma dos determinantes. Em geral, não é igual a 2, e na maioria das vezes nem mesmo é igual a 1. Portanto, geralmente não pertence a .

Passo 5

3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos considerar uma matriz det(cA) = c^n det(A) = c^n cdot 1 = c^n em ( ) e um escalar . Calculamos o determinante de :
Para estar em , precisaríamos que para qualquer escalar . Mas isso só acontece se ou se , o que não faz sentido para matrizes. Portanto, geralmente não pertence a .

Resposta

Concluímos que não é um subespaço de porque não satisfaz as condições necessárias, como conter o vetor zero, e não é fechado na adição e na multiplicação por escalar.

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