Seja f: Z Z12 dada por f(x)=4 x+3.
Obter f^-1(1, 3, 4, 8).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por . O que a gente precisa encontrar é o conjunto de todos os números inteiros que, quando passados pela função , dão os restos na divisão por 12. Vamos usar conceitos de funções e aritmética modular para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 4x + 3 equiv y pmod12 . Isso representa todos os valores de que, ao serem inseridos na função , resultam em um dos restos mencionados. Então, precisamos resolver a congruência:
onde pode ser 1, 3, 4 ou 8.

Passo 3

Vamos resolver a congruência para cada valor de 4x + 3 equiv 1 pmod12 4x equiv -2 pmod12 4x equiv 10 pmod12 separadamente.
  1. Para 2x equiv 5 pmod6 :
x equiv 15 pmod6 x equiv 3 pmod6
Dividindo ambos os lados por 2 (já que 2 é o máximo divisor comum de 4 e 12):
4x + 3 equiv 3 pmod12 4x equiv 0 pmod12 x equiv 0 pmod3
Agora, multiplicamos ambos os lados por 3 para isolar 4x + 3 equiv 4 pmod12 4x equiv 1 pmod12 :
4x + 3 equiv 8 pmod12 4x equiv 5 pmod12
Então, 2x equiv 52 pmod6 , onde é inteiro.
  1. Para :
Então, , onde é inteiro.
  1. Para :
Aqui, não há solução porque 4 e 12 não são coprimos, e 1 não é múltiplo do máximo divisor comum (que é 4). Portanto, não há valores de que satisfaçam essa equação.
  1. Para :
Similar ao caso de , dividindo por 2:
Isso não é possível, pois não é inteiro. Portanto, também não há solução para .

Passo 4

Agora, juntando as soluções encontradas:
  • Para :
  • Para :
  • e não têm solução.

Resposta

f^-1(1, 3, 4, 8) = , x in Z mid x = 3k ou x = 6k + 3, , k in Z ,

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