Seja
uma função e sejam
e
subconjuntos de
. Mostre que:
Mostre que se
é bijetora, então
.
Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de funções e conjuntos. A questão pede para mostrar que, se a função
for bijetora, então a imagem da diferença entre os conjuntos
e
é igual à diferença das imagens de
e
. A gente vai precisar entender o que é uma função bijetora, o que significa a imagem de um conjunto e como funciona a diferença de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora quando ela é injetora (cada elemento de
mapeia para um único elemento em
) e sobrejetora (todo elemento de
é imagem de algum elemento em
). Isso garante que
tenha uma função inversa
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa
. A diferença entre conjuntos
e
, escrita como
, é o conjunto de elementos que estão em
mas não estão em
. Então,
é a imagem desses elementos através de
.
Passo 4
Por outro lado,
é a diferença entre as imagens de
e
. Isso significa que pegamos todos os elementos que estão em
e removemos aqueles que também estão em
.
Passo 5
Como
é bijetora, ela preserva a diferença de conjuntos. Ou seja, aplicar
à diferença
dá exatamente a diferença das imagens
. Isso acontece porque, sendo
injetora, elementos distintos em
permanecem distintos após a aplicação de
, e como é sobrejetora, toda diferença em
vem de uma diferença em
.
Resposta
Portanto, se
é bijetora, então
.