Seja f: A B uma função e sejam P e Q subconjuntos de A. Mostre que:
Mostre que se f é bijetora, então f(P-Q)=f(P)-f(Q).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de funções e conjuntos. A questão pede para mostrar que, se a função for bijetora, então a imagem da diferença entre os conjuntos e é igual à diferença das imagens de e . A gente vai precisar entender o que é uma função bijetora, o que significa a imagem de um conjunto e como funciona a diferença de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora quando ela é injetora (cada elemento de mapeia para um único elemento em ) e sobrejetora (todo elemento de é imagem de algum elemento em ). Isso garante que tenha uma função inversa .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa . A diferença entre conjuntos e , escrita como , é o conjunto de elementos que estão em mas não estão em . Então, é a imagem desses elementos através de .

Passo 4

Por outro lado, é a diferença entre as imagens de e . Isso significa que pegamos todos os elementos que estão em e removemos aqueles que também estão em .

Passo 5

Como é bijetora, ela preserva a diferença de conjuntos. Ou seja, aplicar à diferença dá exatamente a diferença das imagens . Isso acontece porque, sendo injetora, elementos distintos em permanecem distintos após a aplicação de , e como é sobrejetora, toda diferença em vem de uma diferença em .

Resposta

Portanto, se é bijetora, então .

Exercícios relacionados

Considere a função t: Z8 times Z10 Z8 times Z10 tal que t(barx, bary)=(x+3, 6 y+2). Determine a função inversa de t, se existir.
Seja f: Z Z12 dada por f(x)=4 x+3.
Obter f^-1(1, 3, 4, 8).
Seja f: A B uma função e sejam P e Q subconjuntos de A. Mostre que:
f é bijetora se, e somente se, f(P^C)=(f(P))^C para todo P subseteq A. (Aqui P^C é o complementar de P em relação à A.)
Seja f: A B uma função e sejam P subseteq A e X, Y subseteq B. Mostre que:
f^-1(X-Y)=f^-1(X)-f^-1(Y).