Seja uma função e sejam e subconjuntos de . Mostre que:
Mostre que se é bijetora, então .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de funções e conjuntos. A questão pede para mostrar que, se a função for bijetora, então a imagem da diferença entre os conjuntos e é igual à diferença das imagens de e . A gente vai precisar entender o que é uma função bijetora, o que significa a imagem de um conjunto e como funciona a diferença de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora quando ela é injetora (cada elemento de mapeia para um único elemento em ) e sobrejetora (todo elemento de é imagem de algum elemento em ). Isso garante que tenha uma função inversa.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa . A diferença entre conjuntos e , escrita como , é o conjunto de elementos que estão em mas não estão em . Então, é a imagem desses elementos através de .
Passo 4
Por outro lado, é a diferença entre as imagens de e . Isso significa que pegamos todos os elementos que estão em e removemos aqueles que também estão em .
Passo 5
Como é bijetora, ela preserva a diferença de conjuntos. Ou seja, aplicar à diferença dá exatamente a diferença das imagens . Isso acontece porque, sendo injetora, elementos distintos em permanecem distintos após a aplicação de , e como é sobrejetora, toda diferença em vem de uma diferença em .