Seja f: A B uma função e sejam P e Q subconjuntos de A. Mostre que:
f é bijetora se, e somente se, f(P^C)=(f(P))^C para todo P subseteq A. (Aqui P^C é o complementar de P em relação à A.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre funções e conjuntos. A gente precisa mostrar que uma função f é bijetora iff f(P^C) = (f(P))^C forall P subseteq A é bijetora (ou seja, é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo) se, e somente se, para todo subconjunto de , a imagem do complementar de por é igual ao complementar da imagem de . Em termos matemáticos, isso é:
é
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser bijetora, injetora e sobrejetora, além de entender o que é o complementar de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função bijetora. Uma função é:
  • Injetora: se cada elemento de mapeia para um elemento único em , ou seja, se então .
  • Sobrejetora: se todo elemento de é imagem de algum elemento de , ou seja, para todo , existe tal que .
Então, uma função é bijetora se é tanto injetora quanto sobrejetora.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa e :
  • é o complemento de em relação a , ou seja, todos os elementos de que não estão em .
  • é a imagem do conjunto pela função , ou seja, todos os para .
  • é o complemento de em relação a , todos os elementos de que não estão em .
A condição que precisamos provar relaciona a imagem do complemento de com o complemento da imagem de .

Passo 4

Vamos começar provando que se é bijetora, então para todo .
Suponha que é bijetora:
  1. Injetividade garante que não “sobrepõe” elementos, ou seja, elementos diferentes de têm imagens diferentes em .
  2. Sobrejetividade garante que toda parte de é atingida por .
Dessa forma, para qualquer :
  • Se um elemento está em mas não em , sua imagem está em mas não em , porque é injetora e sobrejetora. Portanto, será exatamente .

Passo 5

Agora, vamos provar o contrário: se para todo , então é bijetora.
Suponha que para todo :
  1. Tomemos . Então, e , então e .
    • Assim, , o que mostra que é sobrejetora.
  2. Agora, para mostrar que é injetora, suponha que para .
    • Escolha . Então, .
    • .
    • Se , então está em mas , o que causaria uma contradição na igualdade .
    • Portanto, , mostrando que é injetora.

Resposta

Portanto, mostramos que é bijetora se, e somente se, para todo subconjunto de , a imagem do complementar de por é igual ao complementar da imagem de . Assim, a afirmação está provada.

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