Seja
uma função e sejam
e
subconjuntos de
. Mostre que:
é bijetora se, e somente se,
para todo
. (Aqui
é o complementar de
em relação à
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre funções e conjuntos. A gente precisa mostrar que uma função
é bijetora (ou seja, é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo) se, e somente se, para todo subconjunto
de
, a imagem do complementar de
por
é igual ao complementar da imagem de
. Em termos matemáticos, isso é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser bijetora, injetora e sobrejetora, além de entender o que é o complementar de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função bijetora. Uma função
é:
- Injetora: se cada elemento de
mapeia para um elemento único em , ou seja, se então . - Sobrejetora: se todo elemento de
é imagem de algum elemento de , ou seja, para todo , existe tal que .
Então, uma função é bijetora se é tanto injetora quanto sobrejetora.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa
e
:
-
é o complemento de em relação a , ou seja, todos os elementos de que não estão em . -
é a imagem do conjunto pela função , ou seja, todos os para . -
é o complemento de em relação a , todos os elementos de que não estão em .
A condição que precisamos provar relaciona a imagem do complemento de
com o complemento da imagem de
.
Passo 4
Vamos começar provando que se
é bijetora, então
para todo
.
Suponha que
é bijetora:
- Injetividade garante que
não “sobrepõe” elementos, ou seja, elementos diferentes de têm imagens diferentes em . - Sobrejetividade garante que toda parte de
é atingida por .
Dessa forma, para qualquer
:
- Se um elemento está em
mas não em , sua imagem está em mas não em , porque é injetora e sobrejetora. Portanto, será exatamente .
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se
para todo
, então
é bijetora.
Suponha que
para todo
:
-
Tomemos
. Então, e , então e . - Assim,
, o que mostra que é sobrejetora.
- Assim,
-
Agora, para mostrar que
é injetora, suponha que para . - Escolha
. Então, . -
. - Se
, então está em mas , o que causaria uma contradição na igualdade . - Portanto,
, mostrando que é injetora.
- Escolha
Resposta
Portanto, mostramos que
é bijetora se, e somente se, para todo subconjunto
de
, a imagem do complementar de
por
é igual ao complementar da imagem de
. Assim, a afirmação está provada.