Seja uma função e sejam e subconjuntos de . Mostre que: é bijetora se, e somente se, para todo . (Aqui é o complementar de em relação à .)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre funções e conjuntos. A gente precisa mostrar que uma função é bijetora (ou seja, é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo) se, e somente se, para todo subconjunto de , a imagem do complementar de por é igual ao complementar da imagem de . Em termos matemáticos, isso é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser bijetora, injetora e sobrejetora, além de entender o que é o complementar de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função bijetora. Uma função é:
Injetora: se cada elemento de mapeia para um elemento único em , ou seja, se então .
Sobrejetora: se todo elemento de é imagem de algum elemento de , ou seja, para todo , existe tal que .
Então, uma função é bijetora se é tanto injetora quanto sobrejetora.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa e :
é o complemento de em relação a , ou seja, todos os elementos de que não estão em .
é a imagem do conjunto pela função , ou seja, todos os para .
é o complemento de em relação a , todos os elementos de que não estão em .
A condição que precisamos provar relaciona a imagem do complemento de com o complemento da imagem de .
Passo 4
Vamos começar provando que se é bijetora, então para todo .
Suponha que é bijetora:
Injetividade garante que não “sobrepõe” elementos, ou seja, elementos diferentes de têm imagens diferentes em .
Sobrejetividade garante que toda parte de é atingida por .
Dessa forma, para qualquer :
Se um elemento está em mas não em , sua imagem está em mas não em , porque é injetora e sobrejetora. Portanto, será exatamente .
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se para todo , então é bijetora.
Suponha que para todo :
Tomemos . Então, e , então e .
Assim, , o que mostra que é sobrejetora.
Agora, para mostrar que é injetora, suponha que para .
Escolha . Então, .
.
Se , então está em mas , o que causaria uma contradição na igualdade .
Portanto, , mostrando que é injetora.
Resposta
Portanto, mostramos que é bijetora se, e somente se, para todo subconjunto de , a imagem do complementar de por é igual ao complementar da imagem de . Assim, a afirmação está provada.