Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, que é mais fácil de resolver. Depois, aplicamos a transformada inversa para voltar para o domínio do tempo e encontrar a solução .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que:
E sabemos que:
Aplicando a transformada na equação:
Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação algébrica:
Reorganizando os termos com :
Simplificando os termos constantes:

Passo 4

Observamos que . Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos decompor cada termo para facilitar a transformação inversa:
  1. já está pronta para a inversa.
  2. Para , fazemos a decomposição em frações parciais.
Então, temos:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo:
  1. Para , usando frações parciais, obtemos: Então,

Passo 7

Juntando tudo, a solução é:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere uma função tal que e . Com base nesses dados, estime o valor de:
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai metros em segundos.)
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade , ela rebaterá com velocidade , onde . Quanto tempo levará para a bola parar?
Considere a superfície .
O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: