Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, que é mais fácil de resolver. Depois, aplicamos a transformada inversa para voltar para o domínio do tempo e encontrar a solução
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que:
E sabemos que:
Aplicando a transformada na equação:
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação algébrica:
Reorganizando os termos com
:
Simplificando os termos constantes:
Passo 4
Observamos que
. Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos decompor cada termo para facilitar a transformação inversa:
-
já está pronta para a inversa. - Para
, fazemos a decomposição em frações parciais. -
Então, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo:
-
- Para
, usando frações parciais, obtemos: Então, -
Passo 7
Juntando tudo, a solução
é:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
A solução da equação diferencial é: