Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y'' - 2y' + y = t e^t + 4, y(0) = 1, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, que é mais fácil de resolver. Depois, aplicamos a transformada inversa para voltar para o domínio do tempo e encontrar a solução .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que:
E sabemos que:
Aplicando a transformada na equação:
Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação algébrica:
Reorganizando os termos com :
Simplificando os termos constantes:

Passo 4

Observamos que . Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos decompor cada termo para facilitar a transformação inversa:
  1. já está pronta para a inversa.
  2. Para , fazemos a decomposição em frações parciais.
Então, temos:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo:
  1. Para , usando frações parciais, obtemos: Então,

Passo 7

Juntando tudo, a solução é:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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