Considere a superfície .
O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a superfície e o plano que corta essa superfície, formando uma curva. O objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção entre a superfície e o plano. Como o plano é , substituímos por 3 na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é dada por .

Passo 3

Agora, vamos determinar o ponto na curva onde . Substituindo na equação da curva:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 4

Para encontrar a reta tangente, precisamos da inclinação dessa reta no ponto . Vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar essa inclinação:
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é 8.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Como a reta está no plano , o valor de permanece constante. A equação da reta fica:
Onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Considere uma função tal que e . Com base nesses dados, estime o valor de:
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Seja
A partir do cálculo de limites que você fez no item a, estime o valor de . Justifique sua resposta relacionando-a com um dos limites calculados.