Considere uma função
tal que
e
. Com base nesses dados, estime o valor de:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e nos dão algumas informações sobre ela:
- O valor da função em
é 8, ou seja, . - As derivadas parciais dessa função em
são: -
Com base nesses dados, precisamos estimar o valor de
. Acho que tem um pequeno erro de digitação aí, e você quis dizer
, ou seja,
. Vamos seguir com essa suposição.
Para resolver isso, vamos usar uma aproximação linear (ou linearização) da função em torno do ponto
. Isso envolve usar as derivadas parciais dadas para estimar o valor da função perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é a aproximação linear. Quando queremos estimar o valor de uma função em um ponto próximo, podemos usar a seguinte fórmula:
Aqui,
é o ponto onde conhecemos o valor da função e suas derivadas parciais. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
E queremos estimar
. Aqui,
(não mudou) e
(aumentou 0.2).
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da aproximação linear:
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo:
Passo 5
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
Portanto, o valor estimado de
é 7,9.
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Seja
A partir do cálculo de limites que você fez no item a, estime o valor de . Justifique sua resposta relacionando-a com um dos limites calculados.
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Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Considere a superfície
.
O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em
.
O plano
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
2 sen
no ponto
.