Considere uma função g(x, y) tal que g(10,15)=8, partial gpartial x(10,15)=3 e partial gpartial y(10,15)= -0,5. Com base nesses dados, estime o valor de:
g(10 ; 15,2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e nos dão algumas informações sobre ela:
  • O valor da função em é 8, ou seja, .
  • As derivadas parciais dessa função em são:
Com base nesses dados, precisamos estimar o valor de . Acho que tem um pequeno erro de digitação aí, e você quis dizer , ou seja, . Vamos seguir com essa suposição.
Para resolver isso, vamos usar uma aproximação linear (ou linearização) da função em torno do ponto . Isso envolve usar as derivadas parciais dadas para estimar o valor da função perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é a aproximação linear. Quando queremos estimar o valor de uma função em um ponto próximo, podemos usar a seguinte fórmula:
g(x, y) approx g(a, b) + partial gpartial x(a, b) cdot (x - a) + partial gpartial y(a, b) cdot (y - b)
Aqui, é o ponto onde conhecemos o valor da função e suas derivadas parciais. No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
E queremos estimar . Aqui, (não mudou) e (aumentou 0.2).

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da aproximação linear:
g(10, 15.2) approx g(10, 15) + partial gpartial x(10, 15) cdot (10 - 10) + partial gpartial y(10, 15) cdot (15,2 - 15)
Vamos simplificar cada termo:
  • g(10, 15.2) approx 8 + 3 cdot 0 + (-0,5) cdot 0,2
Substituindo:

Passo 5

Calculando cada parte:
  • g(10, 15.2) approx 8 + 0 - 0,1 = 7,9
Então:

Resposta

Portanto, o valor estimado de é 7,9.

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