Considere uma função tal que e . Com base nesses dados, estime o valor de:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e nos dão algumas informações sobre ela:
  • O valor da função em é 8, ou seja, .
  • As derivadas parciais dessa função em são:
Com base nesses dados, precisamos estimar o valor de . Acho que tem um pequeno erro de digitação aí, e você quis dizer , ou seja, . Vamos seguir com essa suposição.
Para resolver isso, vamos usar uma aproximação linear (ou linearização) da função em torno do ponto . Isso envolve usar as derivadas parciais dadas para estimar o valor da função perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é a aproximação linear. Quando queremos estimar o valor de uma função em um ponto próximo, podemos usar a seguinte fórmula:
Aqui, é o ponto onde conhecemos o valor da função e suas derivadas parciais. No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
E queremos estimar . Aqui, (não mudou) e (aumentou 0.2).

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da aproximação linear:
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo:

Passo 5

Calculando cada parte:
Então:

Resposta

Portanto, o valor estimado de é 7,9.

Exercícios relacionados

Seja
A partir do cálculo de limites que você fez no item a, estime o valor de . Justifique sua resposta relacionando-a com um dos limites calculados.
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Considere a superfície .
O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva 2 sen no ponto .