Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva x = 2 sen(t), y = 2 sen(2t), z = 2 sen 3 t no ponto (1, raiz(3), 2).

Passo 1

Então, a gente tem uma curva definida por três equações paramétricas:
E queremos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de cada componente da curva para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de a curva passa pelo ponto . Vamos igualar cada coordenada:
Resolvendo a primeira equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de , e em relação a para encontrar a direção da reta tangente:
Substituindo :
Então, o vetor direção da reta tangente é .

Passo 4

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
Onde é o parâmetro da reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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