Considere a superfície z = 2 x^2 + y^2.
O plano x = 2 intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em y = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma superfície definida pela equação e diz que o plano intercepta essa superfície formando uma curva. O objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Aqui, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e Cálculo Diferencial para resolver o exercício. Precisaremos calcular derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e usar a equação geral da reta para finalizar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva resultante da interseção do plano com a superfície . Já que é sempre 2 nesse plano, substituímos na equação da superfície:
Então, a equação da curva é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ponto na curva correspondente a . Substituindo na equação da curva:
Portanto, o ponto de interesse é .

Passo 4

Para encontrar a reta tangente, precisamos da inclinação da curva no ponto . Isso significa que devemos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto :
Isso nos dá a inclinação da reta tangente no ponto considerado.

Passo 6

Agora, usamos a equação da reta tangente na forma:
onde é a inclinação e é o ponto de tangência. Substituindo os valores que temos:

Passo 7

Simplificando a equação para deixá-la na forma explícita:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .

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