Considere a superfície .
O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma superfície definida pela equação e diz que o plano intercepta essa superfície formando uma curva. O objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Aqui, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e Cálculo Diferencial para resolver o exercício. Precisaremos calcular derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e usar a equação geral da reta para finalizar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva resultante da interseção do plano com a superfície . Já que é sempre 2 nesse plano, substituímos na equação da superfície:
Então, a equação da curva é .
Passo 3
Agora, queremos encontrar o ponto na curva correspondente a . Substituindo na equação da curva:
Portanto, o ponto de interesse é .
Passo 4
Para encontrar a reta tangente, precisamos da inclinação da curva no ponto . Isso significa que devemos calcular a derivada de em relação a :
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto :
Isso nos dá a inclinação da reta tangente no ponto considerado.
Passo 6
Agora, usamos a equação da reta tangente na forma:
onde é a inclinação e é o ponto de tangência. Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Simplificando a equação para deixá-la na forma explícita:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .