Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse problema. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais. Vamos precisar lembrar como transformar derivadas e funções exponenciais usando essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada da derivada segunda é . Como e , essa expressão simplifica para .
Aplicando a transformada na equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver para :

Passo 4

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para os coeficientes , e , encontramos:
Então,

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Portanto,

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere a superfície .
O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Seja
A partir do cálculo de limites que você fez no item a, estime o valor de . Justifique sua resposta relacionando-a com um dos limites calculados.
Considere uma função tal que e . Com base nesses dados, estime o valor de: