Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y'' + 4y = e^t, y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse problema. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais. Vamos precisar lembrar como transformar derivadas e funções exponenciais usando essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada da derivada segunda é . Como e , essa expressão simplifica para .
Aplicando a transformada na equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver para :

Passo 4

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para os coeficientes , e , encontramos:
Então,

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Portanto,

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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