Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse problema. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais. Vamos precisar lembrar como transformar derivadas e funções exponenciais usando essa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada da derivada segunda
é
. Como
e
, essa expressão simplifica para
.
Aplicando a transformada na equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor
usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para os coeficientes
,
e
, encontramos:
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Portanto,
Resposta
A solução da equação diferencial é: