Considere a funcão , contínua em R. Mostre que a derivada de é . Valor: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função , que é contínua em todos os números reais. Precisamos encontrar a sua derivada em relação a e mostrar que ela é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas de funções trigonométricas e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos mais familiares. A função cossecante é o inverso da função seno, ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Vamos usar a regra da cadeia, que nos diz como derivar uma função composta. A regra da cadeia é essencial quando temos uma função dentro de outra função, como é o caso aqui.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:
Primeiro, vamos derivar . Sabemos que a derivada de em relação a é , onde .

Passo 5

Derivando, temos:
Agora, precisamos derivar em relação a . A derivada de em relação a é , e aplicando a regra da cadeia novamente, multiplicamos pela derivada interna .

Passo 6

Assim, a derivada de é:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada, temos:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Portanto,

Resposta

Finalmente, substituindo as identidades trigonométricas, a derivada da função é:

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