Considere a funcão
, contínua em R. Mostre que a derivada de
é
. Valor:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
, que é contínua em todos os números reais. Precisamos encontrar a sua derivada em relação a
e mostrar que ela é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas de funções trigonométricas e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos mais familiares. A função cossecante é o inverso da função seno, ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Vamos usar a regra da cadeia, que nos diz como derivar uma função composta. A regra da cadeia é essencial quando temos uma função dentro de outra função, como é o caso aqui.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Primeiro, vamos derivar
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 5
Derivando, temos:
Agora, precisamos derivar
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, e aplicando a regra da cadeia novamente, multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 6
Assim, a derivada de
é:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada, temos:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão
usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Portanto,
Resposta
Finalmente, substituindo as identidades trigonométricas, a derivada da função é:
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Derive as funções: (valor:
)
Determine a reta
, tangente a curva
no ponto
. Valor:
.
Dada a função
. Encontre: Classifique os pontos críticos (valor:
);
Dada a função
. Encontre: Os pontos críticos (valor:
);