Determine a reta , tangente a curva no ponto . Valor: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a reta que é tangente à curva no ponto . Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com círculos e suas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a equação da reta tangente a uma circunferência em um ponto específico.

Passo 2

A curva dada é , que é a equação de um círculo com centro na origem e raio (já que ).

Passo 3

Sabemos que a reta tangente a um círculo em um ponto específico é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo a esse ponto. Portanto, para encontrar a reta tangente, precisamos determinar a inclinação do raio , onde é o centro e é o ponto .

Passo 4

Vamos calcular a inclinação do raio . A inclinação é dada por:

Passo 5

Como a reta tangente é perpendicular ao raio , a inclinação da reta tangente é o negativo do inverso de :

Passo 6

Agora, temos a inclinação da reta tangente e passa pelo ponto . Podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando a equação:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é:

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