O teorema fundamental para divergentes (teorema de Gauss, teorema de Green) nos diz que:
Teste este teorema para a função
. Use como volume o cubo com lados de comprimento 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente testar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss) para uma função vetorial específica dentro de um cubo com lados de comprimento 2. O teorema diz que a integral da divergência de um campo vetorial dentro de um volume é igual à integral do fluxo desse campo na superfície que envolve o volume. Então, vamos precisar calcular duas integrais: uma sobre o volume do cubo e outra sobre as suas faces.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial dada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência dessa função vetorial. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso à nossa
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre o cubo. Considerando que o cubo tem lados de comprimento 2, assumindo que vai de 0 a 2 em cada coordenada
,
e
:
Vamos integrar termo a termo:
- Integral de
:
Então,
- Integral de
:
Então,
- Integral de
:
Então,
Somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície do fluxo de
sobre as faces do cubo. O cubo tem 6 faces, e vamos calcular o fluxo em cada uma delas.
- Face
:
Aqui,
, já que a normal aponta para fora.
Fluxo: 0
- Face
:
Aqui,
.
Integral:
- Face
:
Aqui,
.
Fluxo: 0
- Face
:
Aqui,
.
Integral:
- Face
:
Aqui,
.
Fluxo: 0
- Face
:
Aqui,
.
Integral:
Somando tudo:
Resposta
As duas integrais resultaram em 48, confirmando que o Teorema da Divergência é válido para a função dada no cubo com lados de comprimento 2.