O teorema fundamental para divergentes (teorema de Gauss, teorema de Green) nos diz que:
integralv(nabla cdot V) d tau=oints V cdot d a
Teste este teorema para a função V=(x y) i+(2 y z) j+(3 z x) k. Use como volume o cubo com lados de comprimento 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente testar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss) para uma função vetorial específica dentro de um cubo com lados de comprimento 2. O teorema diz que a integral da divergência de um campo vetorial dentro de um volume é igual à integral do fluxo desse campo na superfície que envolve o volume. Então, vamos precisar calcular duas integrais: uma sobre o volume do cubo e outra sobre as suas faces.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial dada:
V = (x y) i + (2 y z) j + (3 z x) k

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência dessa função vetorial. A divergência de um campo vetorial nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z é dada por:
partial (x y)partial x = y partial (2 y z)partial y = 2 z partial (3 z x)partial z = 3 x
Aplicando isso à nossa nabla cdot V = y + 2 z + 3 x :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre o cubo. Considerando que o cubo tem lados de comprimento 2, assumindo que vai de 0 a 2 em cada coordenada integral0^2 integral0^2 integral0^2 (y + 2 z + 3 x) , dx , dy , dz , integral0^2 y , dy = [y^22]0^2 = 42 = 2 e integral0^2 integral0^2 integral0^2 y , dx , dy , dz = 2 times 2 times 2 = 8 :
integral0^2 2 z , dz = [z^2]0^2 = 4
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integral de integral0^2 integral0^2 integral0^2 2 z , dx , dy , dz = 4 times 2 times 2 = 16 :
integral0^2 3 x , dx = [3 x^22]0^2 = 6
Então,
integral0^2 integral0^2 integral0^2 3 x , dx , dy , dz = 6 times 2 times 2 = 24
  1. Integral de 8 + 16 + 24 = 48 :
Então,
  1. Integral de :
Então,
Somando tudo:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície do fluxo de V cdot da = (0 cdot y) (-1) + (2 y z)(0) + (3 z cdot 0)(0) = 0 sobre as faces do cubo. O cubo tem 6 faces, e vamos calcular o fluxo em cada uma delas.
  1. Face V cdot da = (2 y) (1) + (2 y z)(0) + (3 z cdot 2)(0) = 2 y :
Aqui, integral0^2 integral0^2 2 y , dy , dz = 2 times [y^22]0^2 times 2 = 2 times 2 times 2 = 8 , já que a normal aponta para fora.
V cdot da = (x cdot 0)(0) + (2 cdot 0 cdot z)(-1) + (3 z x)(0) = 0
Fluxo: 0
  1. Face V cdot da = (x cdot 2)(0) + (2 cdot 2 cdot z)(1) + (3 z x)(0) = 4 z :
Aqui, integral0^2 integral0^2 4 z , dx , dz = 4 times 2 times [z^22]0^2 = 4 times 2 times 2 = 16 .
V cdot da = (x y)(0) + (2 y cdot 0)(0) + (3 cdot 0 cdot x)(-1) = 0
Integral:
V cdot da = (x y)(0) + (2 y cdot 2)(0) + (3 cdot 2 cdot x)(1) = 6 x
  1. Face integral0^2 integral0^2 6 x , dx , dy = 6 times [x^22]0^2 times 2 = 6 times 2 times 2 = 24 :
Aqui, 0 + 8 + 0 + 16 + 0 + 24 = 48 .
Fluxo: 0
  1. Face :
Aqui, .
Integral:
  1. Face :
Aqui, .
Fluxo: 0
  1. Face :
Aqui, .
Integral:
Somando tudo:

Resposta

As duas integrais resultaram em 48, confirmando que o Teorema da Divergência é válido para a função dada no cubo com lados de comprimento 2.

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