Determine a continuidade da função f(t) = (t^2 - 4, 1/(t - 2), cos(t^2)) em t = 2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a continuidade da função vetorial no ponto t = 2. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções matemáticas e verificar a continuidade de cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto a se o limite da função quando t se aproxima de a é igual ao valor da função nesse ponto. Isso deve valer para todas as componentes da função vetorial.

Passo 3

Vamos analisar a primeira componente da função: . Sabemos que polinômios são funções contínuas em todos os pontos do seu domínio. Portanto, não há problemas de continuidade para essa parte da função em t = 2.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda componente: . Aqui, devemos ter cuidado, pois o denominador não pode ser zero. Se substituirmos t = 2, teremos:
Isso resulta em uma divisão por zero, o que significa que essa função não está definida em t = 2. Portanto, essa componente apresenta uma descontinuidade no ponto t = 2.

Passo 5

Por fim, analisamos a terceira componente: . A função cosseno é contínua para todos os números reais, e como t^2 também é contínuo, a composição dessas funções também será contínua em t = 2.

Resposta

Como a segunda componente da função não é contínua em t = 2, a função vetorial não é contínua nesse ponto.

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