Determine a continuidade da função
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a continuidade da função vetorial
no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções matemáticas e verificar a continuidade de cada componente da função vetorial individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto
se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto. Isso deve valer para todas as componentes da função vetorial.
Passo 3
Vamos analisar a primeira componente da função:
. Sabemos que polinômios são funções contínuas em todos os pontos do seu domínio. Portanto, não há problemas de continuidade para essa parte da função em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda componente:
. Aqui, devemos ter cuidado, pois o denominador não pode ser zero. Se substituirmos
, teremos:
Isso resulta em uma divisão por zero, o que significa que essa função não está definida em
. Portanto, essa componente apresenta uma descontinuidade no ponto
.
Passo 5
Por fim, analisamos a terceira componente:
. A função cosseno é contínua para todos os números reais, e como
também é contínuo, a composição dessas funções também será contínua em
.
Resposta
Como a segunda componente da função
não é contínua em
, a função vetorial
não é contínua nesse ponto.