Determine a continuidade da função .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a continuidade da função vetorial no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções matemáticas e verificar a continuidade de cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Isso deve valer para todas as componentes da função vetorial.

Passo 3

Vamos analisar a primeira componente da função: . Sabemos que polinômios são funções contínuas em todos os pontos do seu domínio. Portanto, não há problemas de continuidade para essa parte da função em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda componente: . Aqui, devemos ter cuidado, pois o denominador não pode ser zero. Se substituirmos , teremos: Isso resulta em uma divisão por zero, o que significa que essa função não está definida em . Portanto, essa componente apresenta uma descontinuidade no ponto .

Passo 5

Por fim, analisamos a terceira componente: . A função cosseno é contínua para todos os números reais, e como também é contínuo, a composição dessas funções também será contínua em .

Resposta

Como a segunda componente da função não é contínua em , a função vetorial **não é contínua** nesse ponto.

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O teorema fundamental para divergentes (teorema de Gauss, teorema de Green) nos diz que: Teste este teorema para a função . Use como volume o cubo com lados de comprimento 2.
Considere a função . Calcule e .
Determine se é contínua em .
Calcule as derivadas das funções abaixo .